一、来自数学家的启示

【案例1】数系的扩充史——复数的发现。16世纪，意大利数学家卡尔达诺（G.Cardano）在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋和就可以满足要求：

我们知道，在实数集内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0。然而，表示什么意义呢？你也许会觉得这个问题有点可笑，认为和这两个式子没有意义，是虚构的、想象的，但在解决许多问题中，使用类似于这样的式子却带来极大的方便。

于是，数学家提出了以下问题：

（2）数系的扩充史上是否存在类似的认知冲突，它们带来了怎样的创造性的发现？

（3）借鉴已有的研究经验，我们能对数进行进一步扩充吗？

数学家基于对数系的扩充过程的整体性认识，结合新的认知冲突对数系进行新的扩充便成了自然，复数也就应运而生。

启示1：发现问题是一种创造性的思维活动。数学家的问题激活了数学的思维，实现了数学的再创造。问题既是思维的起点，又是思维的动力。没有问题的思维是肤浅的思维、被动的思维。［1］当个体活动时感到自己需要问个“为什么”“是什么”“怎么办”的时候，此时的思维才算真正启动，否则，思维就难以展开和深入。

启示2：“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”是一个整体。问题发现、提出以后需要分析、解决，而在分析、解决的过程中，又会不断发现新的问题，这种螺旋上升促进了研究的不断深入。作为教师，我们要在发现问题、提出问题中培养学生的问题意识；……