张永强，荆建平，李亚伟，牛超阳，贾 林

（1.中国航发商用航空发动机有限责任公司，上海 200240；2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240）

随着对旋转机械高负荷高效率的要求，旋转机械正朝着高速、轻型、大功率、大载荷方向发展。转子作为核心部件极其容易发生故障，如果不能及时发现和处理，会使机械设备可靠性降低、失去生产功能，甚至会导致机毁人亡的重大事故。因此对转子的故障诊断有着重大的现实意义。

当前对于转子故障的诊断[2-6]基本是采用基于振动信号特征结合经验的诊断方法，这种方法往往包含过多人为的判断。基于知识的故障诊断方法应用越来越普遍，如神经网络、模式识别、专家系统等，但其诊断精度多依赖于大量的故障事例和故障数据，实际情况往往缺乏很多转子的故障数据。因此有必要寻求一种更为强有力的方法对故障实施有效的诊断和防治。

近年来，卡尔曼滤波技术[7]由于其独有的功能被广泛应用于系统辨识、参数估计中，特别是在导航、通信等工程领域。文献[1]将其和多模型估计技术相结合，构造多模型估计器，通过对裂纹参数的估计进行转子故障的诊断。本文采用扩展卡尔曼滤波和加权整体迭代相结合的方法通过识别转子的故障参数对转子典型故障(不对中、裂纹、弯曲)进行诊断，减小了构造多模型估计器的复杂度，提高了计算效率。

1 转子模型

以bently转子（见图1）为研究对象，将其视为Jeffcott转子（见图2）。

图1 bently转子

图2 Jeffcott转子

转子的质量、刚度和阻尼分别用m、k、c表示。转盘的不平衡量为e，转速为ω。通过对bently转子的实验和计算得到Jeffcott转子的系统参数如下：

集中质量：m=0.943kg；

阻尼系数：cx=12.33Ns/m,cy=10.91 Ns/m；

刚度系数：kx=41308N/m,ky=37043 N/m；

不平衡量：e=23.6um,θ0=335°；

噪声方差：R=3.6× 10-3，Q=1× 10-5。

通过转子动力学的知识分别建立正常转子和典型故障转子（不对中、裂纹、弯曲）的运动微分方程。方程中x,y为圆盘中心在水平和竖直方向上的振动位移，ẋ,ẏ为水平和竖直方向上的速度，ẍ,ÿ为水平和竖直方向上的加速度。

1.1 正常转子模型

正常转子模型(带不平衡)的动力学微分方程见下式

式中：e,θ0为转子不平衡的大小和相位。

1.2 不对中转子模型

转子发生联轴器不对中[8]的动力学微分方程式为

式中：Δe,ϕ为当量不对中量的大小和相位。

1.3 裂纹转子模型

对于裂纹转子的动力学行为分析，目前已有较多的模型。本文采用考虑裂纹开闭效应的方波模型[9]，转子发生裂纹的动力学微分方程式为

式中：Δk为发生裂纹后的刚度变化。

其中：f为开关模型的傅氏级数。

1.4 弯曲转子模型

转子发生弯曲[9]的运动微分方程式为

式中：rs,β为转轴在圆盘处的弯曲量大小和相位。

2 扩展卡尔曼滤波（EKF）

2.1 扩展卡尔曼滤波算法

卡尔曼滤波算法用于最优线性估计，由于大部分系统是非线性的，扩展卡尔曼滤波是在卡尔曼滤波的基础上，通过非线性系统的线性化进行信号滤波和状态估计的过程。系统的非线性时间离散状态方程和时间离散观测方程表示为

式中：x为系统状态向量，z为系统输出向量；w和v为零均值白噪声向量，噪声协方差矩阵分别为Q和R。

初始状态向量X(0)、误差协方差矩阵P(0)以及量测向量Zk已知，则可按如下的扩展卡尔曼滤波方程去估计状态向量x̂和协方差矩阵P。

状态预测方程

误差协方差预测方程

增益矩阵

状态滤波方程

误差协方差滤波方程

综上，由式(7)－式(12)得到扩展卡尔曼滤波的流程如图3。

2.2 参数估计方程

在第1节中，Δe,ϕ为不对中故障参数，Δk为裂纹故障参数，rs,β为弯曲故障参数，如果将待识别的转子故障参数扩展到状态向量中，那么就可以通过扩展卡尔曼滤波对状态向量的估计来得到转子的故障参数，进而判断是否具有故障以及具体故障的类型和严重程度。

图3 扩展卡尔曼滤波算法流程图

由于在短时间内故障参数是常数，所以其关于时间的导数值为0。根据第1节中的故障转子动力学微分方程，分别构建不同故障所对应的参数估计方程。

（1）对于不对中故障，其参数估计方程如下

（2）对于弯曲故障，其参数估计方程如下

（3）对于裂纹故障，其参数估计方程如下

2.3 加权整体迭代

由于在使用扩展卡尔曼滤波对系统进行参数识别时，所采用的数据是一段有限的观测数据和主观确定的参数初值，因此识别参数往往不会很快收敛到稳定值。为了提高被识别参数的收敛性和稳定性，本文通过“扩展卡尔曼滤波—加权整体迭代法”(EKF-WGI)对故障参数进行参数识别[10]，同时该方法引入了目标函数来判断参数识别的稳定性。

EKF-WGI的主要思想如下：首先采用扩展卡尔曼滤波得到末时刻的状态变量估计值x̂(s|s)及误差协方差矩阵P(s|s)，然后将状态向量估计值x̂(s|s)作为下次迭代状态变量的初值，将估计误差协方差矩阵P(s|s)与加权值W的乘积P(s|s)⋅W作为下次迭代误差协方差矩阵的初值，对同一段观测数据进行下一轮迭代，如此反复迭代，直到故障参数变得稳定。权值W对提高滤波器的收敛性和稳定性起着重要的作用，本文中权值W的取值为10。

图4 加权整体迭代的扩展卡尔曼滤波方法

3 实验验证

3.1 转子故障实验

在bently转子实验台上分别模拟多种故障。通过在联轴器结合面的局部安装垫片来模拟不对中故障；通过电火花加工裂纹轴来模拟裂纹故障；通过加工弯曲轴来模拟弯曲故障。启动三种故障形式的转子，测量不同故障形式下的圆盘处振动位移，x方向和y方向的振动位移的时频图如图5、图6、图7所示。

从图5图6图7可以看出，不对中转子频谱出现明显的二倍频，裂纹转子频谱上出现了轻微的二倍频分量，弯曲转子时频图无明显异常。早期故障的转子频谱图各谐波分量极其微小，如果用传统诊断方法提取频谱特征诊断，较难发现转子存在故障，此外，由于转子不对中、碰摩、裂纹、松动等也常常伴有2倍频分量，也无法判断转子属于哪一种故障。本文提出的方法可以通过对故障参数的识别，准确地对故障类型进行诊断，并能够判断故障的严重程度。

3.2 故障诊断

由于在对转子的振动采集信号做参数估计前不知道转子的实际状态，因此需要用所建立的三种参数估计方程分别对振动采集信号做参数估计，然后根据参数估计的结果判断是哪种故障形式。为了保证参数估计值尽可能收敛，采样EKF-WGI方法进行参数估计。

图5 不对中转子时频图

图6 裂纹转子时频图

图7 弯曲转子时频图

(1)不对中故障诊断

分别用不对中故障参数估计方程、裂纹故障参数估计方程、弯曲故障参数估计方程对不对中故障采集的振动信号进行参数估计，估计结果如图8所示。

图中红色竖线为前一次全局迭代和后一次全局迭代的分割线。从图(a)可以看出，不对中故障估计方程经过两次全局迭代，估计参数稳定于Δe=18.9um,θ=194°；从图(b)可以看出，裂纹故障估计方程经过两次全局迭代，估计参数稳定于Δk=12000N/m,α=342°；从图(c)可以看出，弯曲故障估计方程经过了七次全局迭代后，计算结果仍然发散，说明转子系统的状态不是弯曲故障。

图8 不对中障参数估计结果

由于不对中估计方程和裂纹估计方程的估计值都是收敛的，所以不能直接判断转子具有不对中故障或裂纹故障。然而，估计方程在对故障做参数估计的同时对振动位移变量(x,y)也进行了状态估计，因此本文通过比较每个估计方程的状态估计残差大小确定故障形式。一般情况下，估计值会随着全局迭代偏向于稳定，因此选取EKF-WGI最后一次全局迭代的状态估计值和残差值作为评价数据。

不对中估计方程、裂纹估计方程、弯曲估计方程的状态估计和残差如图9所示。

为了判断出具体故障形式，需要对估计结果制定评价标准。由于测量信号为振动位移变量(x,y)，因此在某一时刻的残差是一个二维向量。本文取所有采样时刻的状态估计残差值所组成的残差序列有效值作为评价标准，见下式

式中：ri(x)为i时刻状态变量x的估计残差值；ri(y)为i时刻状态变量y的估计残差值，Rms为残差序列有效值。

由式(13)计算得，Rms不对中=1.99，Rms裂纹=9.02，Rms弯曲=9.56。可以看到裂纹估计器和弯曲估计器的残差远大于不对中估计器，因此综合状态向量的稳定性和残差序列有效值诊断出转子系统具有不对中故障，与转子实际状态相吻合。

(2)裂纹故障诊断

同理，分别用不对中故障参数估计方程、弯曲故障参数估计方程、裂纹故障参数估计方程对裂纹故障振动数据进行参数估计，估计结果如图10所示。

图9 不对中故障状态估计值和残差值

从图10（a）可以看出不对中估计方程对当量不对中量参数Δe、θ的估计值不稳定，且Δe值较小；从图10（c）可以看出弯曲故障估计方程对弯曲量rs、β的估计值也不稳定，且rs值也很小；图10（b）表明经过四次全局迭代，裂纹故障估计器的估计结果收敛，估计值为Δk=49788N/m，β=34°。从参数估计值来看，转子具有裂纹故障。

由式(13)计算得，Rms不对中=0.76，Rms裂纹=0.61，Rms弯曲=0.89。可以看到裂纹的残差序列有效值最小，综上可以诊断出转子具有裂纹故障，与转子实际情况相吻合。

(3)弯曲故障诊断

同理，分别用不对中故障参数估计方程、裂纹故障参数估计方程、弯曲故障参数估计方程对弯曲故障振动数据进行参数估计，估计结果如图11所示。

图10 裂纹故障参数估计结果

图11 弯曲故障参数估计结果

从图11（a）可以看出其不对中估计方程的相位估计值发散；从图11（b）可以看出经过七次全局迭代其估计值仍然不稳定；图11（c）则表明弯曲估计方程的估计结果收敛到稳定值，估计值为rs=87.4N/m，β=231°，说明转子具有弯曲故障。

由式(13) 计算得，Rms不对中=9.66，Rms裂纹=89.56，Rms弯曲=0.99。弯曲的残差序列有效值小于不对中和裂纹的有效值，综上诊断出转子系统具有弯曲故障，与转子实际状态相吻合。

本节通过bently转子试验台，得到转子在不对中，裂纹，弯曲故障下的振动位移信号，分别通过构造的基于EKF-WGI的不对中故障参数估计方程、弯曲故障参数估计方程、裂纹故障参数估计方程，得到故障参数和实际结果相符，验证了该方法在转子典型故障诊断中的有效性。

4 结语

本文针对Jeffcott转子，分别建立了不对中、裂纹和弯曲故障模型。对于不同的故障模型，分别构建了基于扩展卡尔曼滤波器的参数估计方程。在bently转子上模拟不对中，裂纹和弯曲故障，得到位移信号，通过构建的EKF-WGI进行故障参数估计实现对转子的故障诊断。结果表明，扩展卡尔曼滤波方法对于转子故障有着较高的识别能力。与传统的频谱诊断方法相比，它不依赖于经验，对故障的诊断更有针对性。同时，可以较精确地估计故障参数，判断转子故障的程度，对旋转机械的运行起着很好的指导作用。