赵明 李东玮

摘要：利用有限覆盖定理得到一个形式相似但对原定里中闭集的有界性不再要求的推论.以及闭区间的逆定理、聚点定理的逆定理。

关键词：有限覆盖；有界闭集；闭区间套定理；聚点定理

中图分类号：O151.21

有限覆盖定理是数学分析中基础性定理，本文给出有限覆盖定理的推论.在推论中不再要求被覆盖的闭集有界.以及闭区间套定理、聚点定理的逆定理。并通过对文献[1]Caratheodory定理的证明过程分析，适当推广了Caratheodory定理的适用范围。另外通过推广Toeplitz数表得到了另外一种形式的Stolz定理。

实数理论是数学分析的基础，海涅波莱尔有限覆盖定理、维尔斯特拉斯聚点定理、闭区间套定理分别刻画了实数集的连续性。文献[1]给出了海涅波莱尔有限覆盖定理的逆定理，受此启发本文探索了闭区间套定理、维尔斯特拉斯聚点定理的逆定理。并给出了有限覆盖定理的另外一种形式，该种情形不再要求被覆盖的集合是有界的仅要求是闭的。

1预备知识

以下命题来自文献[2].

2结论

下面给出有界闭集套定理的逆定理：

定理2.2F为中非空子集，若对任一子集族：都有，则F闭，有界。

证：先证F闭。

设是F的极限点，则存在F中的互异点列

取

……

从而

，显然x0∈∩

SymboleB@ k=0Fk

再证有界性。

反证.若F无界。不妨设F无上界，对都有，使得

取F中点列如下：

，，...

显然，且，取，则这与已知条件矛盾，故F有界。

将此定理适当修改可推广至n维空间。

聚点定理的逆定理：

定理2.3若中非空子集F的任一无限子集至少有一个极限点则F有界.