路梦绮 林剑

摘要：一次函数图像在解决实际问题中具有广泛应用。以工程问题为例，分析此类题型解题过程及思路，总结规律方法；探究数形结合等思想的运用。

关键词：一次函数图像；分析法；数形结合

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2018）07-0255-01

Abstract：a function image has wide application in solving practical problems. Engineering problems， for example， analyzed such questions the problem solving process and thinking， summarizes rule method； To explore the use of several form combining ideas.

Key words：a function image； Analysis method； Several form combining

一次函数作为初中生接触的第一类函数，其概念内容、解题方法和数学思想是学生后续学习的重要基础。灵活运用一次函数的图像可以为解决实际问题提供快捷简便的方法，教师应该通过一些典型问题的处理引导学生发现规律、归纳方法，形成数学建模意识，培养探索和创新精神，并通过相应的训练达到熟能生巧、举一反三、触类旁通的目的。

现以工程问题为例，分析解题方法：

例 甲车间使用2台A型设备和乙车间使用1臺B型设备合作加工a个零件，合作一段时间后，甲车间的一台设备因出现了故障停止生产，修好后继续生产，直到完成任务。每台设备加工零件速度不变，且相同型号的设备加工零件的速度相同，甲乙车间共同加工的零件数量y（件）与加工时间t（时）的函数图像如图所示。

（1）求两种型号的设备每台每小时加工零件的个数及a的值；

（2）求甲车间加工的零件数量z（件）与t（时）的函数关系式；

（3）求甲乙两个车间加工的零件数相等时t的值。

[解析] （1）方法一：（算数法）

一台A型机器与一台B型机器的工作效率（290-140）÷（2.5-1）=100（个/小时）

（2）分段函数可分别用分析法求出三个时间段内对应的z与t之间的函数关系式（“分析法”指以分析的方法寻找有用的数据和数量关系）。

当 时，甲车间两台机器的工作效率为 （个/小时），故z=80t。

当 时，甲车间生产已产80个零件，之后一台A型机器以40个/小时的效率生产，故z=80+40（t-1），即z=40t+40。

当 时，甲车间已生产 （个）零件，之后两台A型机器以80个/小时的效率生产，故z=140+80（t-2.5），即z=80t-60。

（3）分析可知只有在（2）中时间段内可能出现两车间加工零件个数相等。设乙车间加工零件个数为w个，则w=60t；

当40t+40=60t时，t=2；当80t-60=60t时，t=3。

通过以上分析，解决此类问题可从以下几个方面着手：

1.弄清坐标轴所代表的实际意义。

2.注意坐标系中一些关键点所表示的实际意义。

3.体会所设函数关系式中k值所代表的实际意义。其中“-”号要结合不同情况而定， 表示工作效率。

4.明确解决问题的切入点在哪里。

要会看图像，结合已知信息，直接找到浅层次问题的答案，或者用算数方法、列方程（组）的方法解决起点稍高的问题。找到了切入点，解决问题就有了突破口，后继问题就可以依托切入点的答案进一步探索，从而得到解决。

5.掌握利用函数图像求一次函数解析式的两种方法：

（1）待定系数法：从图像中找出两个点的坐标，设出一次函数关系式，列方程（组）求出k，b的值。

（2）结合实际意义利用分析法列出函数关系式，此法有时比用待定系数法求函数关系式简便，并且在找不到点的已知坐标的情况下更能体现出它的优势（如（2）问）。

6.直接理解图像有困难时建议采用线段示意图法帮助分析，列出函数关系式，使其把握实用的解决问题的方法。

7.实际问题常常涉及分段函数，注意培养学生分类讨论的数学思想。

一次函数的应用，关键是要引导学生通过观察函数图像，了解图像蕴涵的信息，熟练运用待定系数法、分析法求函数表达式，并让学生在经历用一次函数解决问题的过程中增强应用意识，提高实践能力，逐步加深对函数思想的理解[1]。

依据课程标准，近几年的中考数学试题更加注重与生活的联系，贴近生活的一次函数图像应用题备受命题者的青睐。利用一次函数的图像解决实际问题能够夯实学生对函数的基础知识的理解，同时培养学生运用知识解决实际问题的能力、探索创新能力和实践能力，形成数学思维[2]。教师要在教学实践中有意识的引导学生自主构建方法框架，内化数学思想。

参考文献

[1]崔竞.“一次函数的应用”教学设计，[J].中小学数学（初中版）2017，3，15.

[2]宋长山.如何解决一次函数“图像应用题”.[J]初中生学习（高），2016，8，20.