许绮菲

(北京市第一七一中学 100013)

考题再现

设n为正整数，集合A={α|α=(t1，t2，…，tn)，tk∈{0,1}，k=1，2，…，n}．对于集合A中的任意元素α=(x1，x2，…，xn)和β=(y1，y2，…，yn)，记

(Ⅰ)当n=3时，若α=(1，1，0 )，β=(0，1，1)，求M(α，α) 和M(α，β)的值；

(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时M(α，β)是奇数；当α，β不同时，M(α，β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α，β)=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

标准答案

(Ⅰ)因为α=(1，1，0 )，β=(0，1，1)，

(Ⅱ)设α=(x1，x2，x3，x4) ∈B，则M(α，α)=x1+x2+x3+x4，

由题意知x1，x2，x3，x4∈{0,1}，且M(α，α)为奇数，

所以x1，x2，x3，x4中1的个数为1或3．

所以B⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．

将上述集合中的元素分成如下四组：

(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；

(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；

(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；

(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．

经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β)=1，

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素，

所以集合B中元素的个数不超过4，

又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，

所以集合B中元素个数的最大值为4．

(Ⅲ) 设Sk={(x1，x2，…，xn) | (x1，x2，…，xn)∈A，xk=1，x1=x2=…=xk-1=0，k=1，2，…，n)}，Sn+1={(x1，x2，…，xn)|x1=x2=…=xn=0}，

则A=S1∪S2∪…∪Sn+1．

对于Sk(k=1，2，…，n-1)中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1，

所以Sk(k=1，2，…，n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素，

所以B中元素的个数不超过n+1．

取ek=(x1，x2，…，xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1，2，…，n-1) ，

令B={e1，e2，…，en-1}∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件，

故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．

解法研究

本题源于2元域上n维线性空间的内积．题目的三个设问，难度逐步递增，但本质上环环相扣．第二问从第一问的事实和命题出发，将问题特殊化，在具体的数字计算中进一步寻求规律，引发大胆猜想；第三问从特殊拓展到一般，推出抽象情况的结论．问题由简入繁、前后衔接、逐步深入，试题考查学生抽象思维能力和创新解题能力，保持了北京数学试卷的新定义风格．

题目第一问帮助学生加强对新定义的理解，通过让学生计算当n=3，α=(1，1，0 )，β=(0，1，1)时M(α，α) 和M(α，β)的……