方苏阳,赵勇

(1.安徽理工大学 测绘学院,安徽 淮南 232001;2.华东有色测绘院,江苏 南京 210000)

0 引 言

随着GPS技术逐渐成熟,GPS被广泛运用到人们生产和生活的各个部门[1-2],在测绘领域的运用更是广泛。GPS技术集数据采集、处理、传输、分析于一体[3-4],在测绘领域主要由于其高精度的定位而被运用到建立各级平面控制网中,却不能在高程测量中得到很好的运用。由于GPS高程测量是在大地高系统下以参考椭球为基准面,而生活中需要用到的高程是在正常高系统系下以大地水准面为基准面测得[5],由于不同的基准面,GPS高程测量所得到的大地高不能在工程中直接使用。针对上述问题,众多国内外学者对GPS高程拟合深入研究,获得丰硕的研究成果。例如田晓[6]针对高程拟合模型不同的特点,研究了适用于不同地形特征的GPS高程拟合模型,经试验表明,该模型相对于其他模型具有更高的拟合精度,所得出的残差更稳定;史俊莉[7]通过分析地形对GPS高程拟合精度影响问题,将地形改正引入到了GPS高程拟合中,有效解决因短波分量的计算问题,提高了拟合精度;魏宗海[8]改进了BP神经网络算法,通过不同的指标评价拟合结果,实验结果表明,不同算法改进BP网络模型能够有效地提高拟合精度和效率。

由于不同的GPS高程拟合模型普适性低,在不同环境下具有一定局限性,难以将模型优势充分利用。考虑到上述问题,本文研究多种GPS高程拟合模型,通过实例分析研究模型在高程拟合方面的应用及其对应的局限性,总结出了针对不同情况下获取的数据所采取的不同拟合方法,以获得高精度的高程转换。研究成果对GPS高程测量在不同环境下的工程项目中的推广具有较好的参考价值。

1 GPS高程拟合模型研究

1.1 二次多项式曲线拟合法

多项式曲线拟合[9]将测区认定为不规则分布曲线,利用m次的代数多项式插值处理,将测线方位作为X轴,将测线垂直方位作为Y轴,令高程异常为ζi,利用下列m次多项式拟合。

ζi(xi)=a0+a1xi+a2xi2+…+amxim,

(1)

式中,xi为拟合点至参考点(x0,y0)直线距离。

(2)

各高程控制点的已知高程异常与其拟合值之差i被称为离差:

ri=ζi(xi)-ζi,i=1,2…，n.

(3)

即在已知点处的离差ri的平方和最小:

(4)

这样的条件下求解ai,接着求出各点的ζ,从而获得正常高。

1.2 多面函数拟合法

多面函数拟合法[10]本质是数学曲面逼近的方法,基本思想是用数学表面逼近所测区域的大地水准面。利用数学模型所建立的水准面面精度高,能够有效地代替真实水准面,利用数学模型在各插值点之间建立函数关系,并将函数叠加,组成多面函数,由于这是每个插值点与已知数据建立的函数关系,因此多面函数具有计算最佳拟合值的特点,因此多面函数曲面拟合法就能够更准确地拟合出未知点的高程拟合值。

多面函数的数学表达式为

(5)

式中：ai为待定系数；Q(x,y,xi,yi)为核函数；x,y为待求点的坐标；xi,yi为已知点坐标,是核函数中心所在地方。

理论上核函数是可以任意构造的,在实际应用中,较常用对称性的距离函数,通常用以下几种函数来充当核函数:

1) 锥面:

Q(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi)2+

(y-yi)2]2.

(6)

2) 双曲面:

Q(x,y,xi,yi)= [(x-xi)2+(y-yi)2+

(7)

3) 倒曲面:

Q(x,y,xi,yi)= [(x-xi)2+(y-yi)2+

(8)

4) 三次曲面:

Q(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi)2+

(9)

上面几种函数中,x,y表示内插点坐标,xi,yi为已知点的坐标,(x-xi)2+(y-yi)2为内插点到已知点的水平距离,式中的参数δ为光滑系数。当已知待求点的点数时,任意一点ζp为

ζp=QpQ-1ζ

=(Q1p,Q2p,…,Qnp).

(10)

式中,Qij=Q(x,y,xi,yi) .

(11)

当已知点数少于待求点数时,

ζp=Qp(QTQ)-1QTζ.

(12)

已知点的高程异常值ζ为直接关系到未知点的高程异常值ζp的计算结果,因此,如果想要更好地结算出未知点的高程异常值,必须认真选取已知点,并且使所选的已知点的高程异常值相差比较大,因为这些点能最好地描述地形变化特征,即高程异常值的分布特征。这些特征点的选择一般在地势高和地势较低的地方。在选择多面函数求解测区内点的高程异常值的时候,需要注意的是核函数的选取问题,由于其取值是自主取值,为了能达到拟合最佳效果,就要逐步地试验改进,然后选定一个最佳取值(本文经多次反复实验,选择三次曲面函数作为核函数)。

1.3 二次曲面拟合法

多项式曲面拟合常用于测区控制点大面积面状分布,利用二次曲面拟合模型[11]进行拟合,可得到公共点上的高程异常与平面坐标之间的关系，其表达式为

(13)

式中:a0,a1,a2,a3,a4,a5为待定参数。

1) 区域内只有6个公共点。

ζ=XA,

(14)

其中,

求解待定点的高程异常值关键在于确定多项式的系数,常用的方法为高斯消元法。确定完多项式,将待定点代入多项式中,求出高程异常值,继而求解正常高Hr.

2) 当公共点多于6个时,则可列出相应的误差方程:

a5xiyi-ζi,i=1,2…，n.

(15)

写成矩阵形式为

V=XA-ζ.

(16)

在离差的和∑V2为最小值的条件下,根据最小二乘法原理可求得A,然后就可以求出任一点的高程异常值ζ,从而求出Hr.

1.4 BP神经网络法

神经网络通过大量观测数据构成的样本集的学习与仿真,保证了神经网络对沉降数据预测的准确性,BP神经网络是具有三层(及以上)神经元的神经网络,其中有输入层、隐含层以及输出层[12-14]。输入层输入样本集,每一个样本集组成一个神经元,神经元激活值通过隐含层正向传播至输出层,学习过程中反复修改神经元权值,若输出的结果满足期望,则认为学习过程结束,可以进行数据预测,若与期望存在一定差距,则需要调整神经网络相应参数。结合高程拟合的BP网络结构图如图1所示。

图中,输入层为GPS高程拟合点平面坐标,学习信号为已知点的高程异常ζ′,输出层为所求GPS高程拟合点的高程异常ζ.

对于BP神经网络来说,选择隐含层节点数十分重要,随着隐含层节点的增加,网络能够更好地解决非线性问题,但同时也会引起网络收敛速度慢,增长网络学习时间,所以隐含层存在一个临界节点数。选择隐含层节点个数十分复杂,目前常用的方法有如下几种:1) 通过输入层节点数确定。2) 根据输入层与输出层节点个数确定。

BP神经网络算法可以分为以下几个部分:

1) 初始化BP网络,确定输入层、隐含层、输出层节点数,分别设为n、i、m;初始化各层连接权值,令隐含层与输入层连接权值为ωij、隐含层与输出层之间的连接权值ωjk;分别初始化各层神经元的阈值,设隐含层阈值为aj(j=1,2，…),输出层阈值为bk(k=1,2，…)。给定学习数据集,即提供输入向量(学习样本)以及期望输出向量(高程异常)。

2) 计算出隐含层输出M.

(17)

式中，f函数表示激励函数。

3) 根据计算得出的隐含层输出M,计算出输出层输出S.S为BP神经网络算法学习输出的高程异常(未检核)。

(18)

4) 计算均方误差ε,

ε=Yk-Sk.

(19)

5) 反复更新权值与阈值,根据上述所求得的高程异常预测误差ε,更新连接权值ωij、ωjk以及阈值aj、bk公式为

i=1,2…,j=1,2，…,

(20)

ωjk=ωjk+μMjek,j=1,2，…,k=1,2，… ,

(21)

j=1,2，… ,

(22)

bk=bk+ek,k=1,2，… .

(23)

6) 最后是判断过程,若算法输出高程异常值满足精度要求则结束迭代,若未满足要求则返回2) 继续迭代。

通过反复迭代,利用BP神经网络进行GPS高程拟合具有很高的精度。

2 工程实例应用

2.1 研究区概况

将某市GPS工程控制网数据为高程拟合实验数据。该地区地形平缓,以平原为主。该控制网控制点数为270个,控制点分布不均匀,选取测区内共有30个GPS水准联测点,该测区几何水准测量为四等水准测量。选取该测区中精度高低不等且分布均匀的25个GPS控制点作为本次试验处理数据,点位分布以及具体数据如图2和表1所示。

点名XY水准高程/mGPS高程/m高程异常ζ A1518 919.0643 645 477.49344.275 656.585 712.310 1 A2521 948.2063 644 145.27453.642 565.917 912.275 4 A3527 095.7713 649 661.43929.450 541.741 912.291 4 A4526 079.4523 645 417.60645.754 158.049 712.295 6 A5525 975.1213 642 769.16136.426 348.732 712.306 4 A6526 306.9373 641 029.06136.785 649.106 912.321 3 A7528 106.6653 641 090.28134.333 846.646 312.312 5 A8528 424.8153 637 219.91639.979 552.260 812.281 3 A9527 646.7233 633 978.78934.004 846.31912.314 2 A10529 423.2513 639 409.85837.523 749.807 312.283 6 A11528 937.9823 642 910.63135.054 747.362 612.307 9 A12530 686.2243 649 840.06329.042 941.340 212.297 3

表1(续)

2.2 高程拟合

实验检核点为A4、A6、A8、A11、A16、A17、A19、A21、A23、A24,另15个点作为实验拟合点。通过本文前述四种拟合模型进行拟合实验,并进行精度计算,对拟合结果进行对比分析,具体数据分析如表2、图3、表3所示。(BP神经网络拟合法所确定的隐含层个数为6,BP网络为3-6-1模型)。

表2 四种高程拟合方法对比

二次多项式曲线拟合/m多面函数拟合/m二次曲面拟合/mBP神经网络拟合/m 内符合精度: μ=[VV]/(n-1)±0.014 3±0.014 3±0.014 3±0.001 2 外符合精度: M=[VV]/(m-1)±0.016 4±0.013 9±0.014 8±0.001 1

2.3 分析与比较

根据拟合计算结果表3和拟合残差图3可知:四种拟合方法进行实验数据高程拟合都可以满足四等几何水准的要求。采用不同的拟合方法,进行拟合后的结果不同,其中的BP神经网络拟合法较其他方法可以达到较高的精度。

通过二次曲面拟合与二次多项式曲线拟合进行比较可以得出结论:对于测区点为面状分布时,采用曲面拟合法,更能反映测区的似大地水准面状况,其精度高于基于曲线的曲线拟合法。

通过多面函数拟合与二次曲面拟合进行比较可以得到结论:测区并不完全是一个规则的起伏面,对二次曲面拟合可能有较大的影响,对测区采用了多面函数的方法进行拟合,多面函数拟合的效果比二次曲面拟合的效果要好,内符合精度和外符合精度都得到了较大的提高。

通过BP神经网络拟合与二次多项式曲线拟合、多面函数拟合、二次曲面拟合进行比较可以得出结论: BP神经网络拟合法的拟合精度高于曲线、曲面拟合法的拟合精度。运用BP神经网络拟合法进行平原区域的GPS高程拟合,具有较高的拟合精度,其数据较好地贴近似大地水准面。故而在位于平原区域的测区进行GPS高程拟合时,可利用神经网络拟合法的特点,获得高精度的正常高。

3 结束语

本文通过高程拟合实验分析对比四种GPS高程拟合方法,研究表明,针对不同测区选择适当的高程拟合模型能够提高高程拟合精度;高程异常变化明显的地区曲线曲面拟合方法精度较低,宜采取多面函数拟合法;BP神经网络拟合模型在本次实验中精度高于其余三种拟合模型,可以认为在地形平缓地区,BP神经网络拟合方法能够高精度地进行高程拟合。