王甘赟 夏燕

摘要：本文研究了矩阵、线性方程组、向量组之间的关系。

关键词：矩阵；线性方程组；向量组

1 引言

矩阵、线性方程组和向量组是线性代数的主要研究对象，很多学生在初学线性代数这门课程的时候只是单纯的掌握矩阵、线性方程组、向量组等内容各自的基本知识，对他们之间相互关系不是很了解，这样就容易造成知识点分散不成体系，不能灵活运用这些知识，所以很有必要对矩阵、线性方程组、向量组之间的关系做一个归纳总结。

2 主要内容

先来研究一下矩阵和线性方程组之间的关系，我们由消元法解线性方程组的过程可以看出：线性方程组 的解的情况由他的系数矩阵 和增广矩阵 完全确定，具体关系反映在如下定理：

元线性方程组

（i）无解的充分必要条件是 ；

（ii）有惟一解的充分必要条件是 ；

（iii）有无限多解的充分必要条件是

具体在求解线性方程组的时候通常是先由系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系判断线性方程组解的情况，具体操作就是把增广矩阵化成行阶梯型矩阵然后分别看系数矩阵和增广矩阵的非零行的行数，如果无解即系数矩阵非零行数小于增广矩阵非零行数直接下结论不用继续再往下做；如果是有唯一解或是无穷解即系数矩阵非零行和增广矩阵非零行数相等且等于 或小于 ，则需要进一步把增广矩阵的行阶梯型矩阵化成行最简形然后求解。这样就避免解线性方程组上来就盲目把增广矩阵化阶梯型和最简形，提高了求解效率。进一步可以推广到矩阵方程 有解的充分必要条件是： 。

由于向量组包含有限向量组和无限向量组，先来看有限向量组和矩阵的关系：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组，由此可以看到矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。对于无限向量组，他自己的最大无关组则是有限向量组，而且有结论无限向量组和自身的最大无关组是等价的，这样掌握了最大无关组就掌握了向量组的全体，特别的，当向量组为无限向量组就能用有限向量组来代表，凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可以推广到无限向量组的情形中去。矩阵和向量组都有秩的概念，他们之间的关系是：矩阵的秩等于列（行）向量组的秩。

最難掌握的就是向量组和线性方程组的关系，由于向量组中就有一个向量能由向量组线性表示；一个向量组能用另外一个向量组线性表示；两个向量组等价以及向量组线性相关、线性无关等诸多概念，再结合上线性方程组和矩阵的秩和向量组的秩等内容往往让学生云里雾里理不出头绪。要解决这个问题首先是要掌握有关向量组的基本概念，其次就要掌握线性方程组和向量组的关系。线性方程组和向量组的关系可以总结归纳如下：

线性方程组 有解当且仅当向量 能由向量组 线性表示；

矩阵方程 有解当且仅当向量组 能由向量组A线性表示；

向量组 线性相关当且仅当 元齐次线性方程组 有非零解；

向量组 线性无关当且仅当 元齐次线性方程组 只有零解；

3 总结

以上就是矩阵、线性方程组、向量组之间的关系的简单总结，理清他们之间的关系再加上对各自内容的掌握必能做到融会贯通、运用自如。

参考文献：

[1]同济大学. 工程数学： 同济·第六版[M]. 高等教育出版社， 2016.

[2]王萼芳， 石生明. 高等代数辅导与习题解答：北大.第4版[M]. 高等教育出版社， 2013.