倪志敏

摘 要：同一数学实验，借“问”促进学生衍生深浅不同的“理性”认识；不同数学实验，探“原”促进学生生发厚薄不同的“理性”思考；给力数学实验，整“合”促进学生萌生表质不同的“理性”批判。

关键词：数学实验；思维；理性；比较

数学家欧拉认为：“数学这门科学需要观察，也需要实验。”数学实验作为一种数学探索活动，笔者粗浅地认为，它有时是蕴含“理性思考”的动手操作，或是融入“猜想验证”的纸笔演算，抑或是两者兼有之。但无论选取哪一类数学实验方式，都是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想，或解决某类数学问题。在这些活动中，我们都应该让学生不仅动手，也要动脑，“促进学生思维的发展和理性精神的养成”（郑毓信）。

一、同一数学实验，借“问”促进学生衍生深浅不同的“理性”认识

在小学阶段，数学同一知识体系内的知识编排都体现了“螺旋上升”这一特点。如在一年级与六年级，教材中都安排了“认识圆柱”这一知识点。无独有偶，在校内公开课《有趣的拼搭》和《认识圆柱和圆锥》这两节课中都安排了同一数学实验——“滚一滚”。

【案例点击1】：《有趣的拼搭》

师：我们用小黑板作为滑面，将各种形状的积木拿好，先放在滑梯上方，然后松手让它们滑下来。看看你能发现什么？

（学生分小组进行数学实验，滚一滚这些积木。）

生1：球、圆柱体滚下来了，而且滚得很快。

生2：正方体和长方体的积木不容易滚。

（教师将圆柱的底面放在滑梯上。）

师：现在圆柱体怎么不滚了呢？

生：底面是平的，放在滑梯上不容易滚下去。

师：圆柱体上有平面也有曲面。把平面放在滑梯上，它就不容易滾；把曲面放在滑梯上，它就滚得快。

【案例点击2】：《认识圆柱和圆锥》

出示一端粗一端细的粉笔、一个圆柱。

（学生分组进行数学实验，滚一滚这些物体。）

师：你们发现了什么？

生：圆柱沿直线滚，粉笔滚时会打弯。

师：那么，粉笔是圆柱吗？

生：粉笔不是圆柱。因为它的上下底面虽然都是圆，但不完全相同。一头粗一头细。

师（强调）：圆柱从上到下一样粗。

【比较思考】——问到深处理更浓

案例1中的“问”抓住圆柱有时滚得快，有时却不易滚的实验现象，让学生认识平面与曲面的不同特征，直指其数学本质，即面的特征。有了一年级学生对圆柱特征的初步认识，因此，六年级学生通常对圆柱“上、下两个底面是完全相同的两个圆”“有一个曲面”这两点比较关注，而对圆柱“从上到下一样粗”容易疏忽。案例2中的“问”抓住圆柱和粉笔都有曲面，但滚出来的形状不同，直指圆柱实质也是一个直柱体，从而沟通各种直柱体的内在联系，这种认知结构对以后的数学学习会产生积极作用。

在相同的数学实验“滚一滚”中，两位教者没有满足于只让学生发现“滚”的结果上的差异，而是“问”到底，讲究精深，使问题具有挑战性，直指数学的本质，让学生能够想得深，让相同的数学实验衍生出深浅不同的理性认识。

二、不同数学实验，探“原”促进学生生发厚薄不同的“理性”思考

《数学新课程标准》指出：有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。在校内公开课中，一位教师教学《3的倍数特征》时，借助计数器进行分层实验，层次分明，分为五步：第一步，在百数表里圈出3的倍数，初步看到3的倍数分散在表的各行各列；第二步，通过检验，3的倍数的特征不表现在数的各位上；第三步，通过提供不同的数珠，分组实验比较，发现如果每个数所用数珠的个数是3的倍数，那这个数才是3的倍数；第四步，把数珠个数转化为各位上的数的和，初步发现3的倍数的特征；第五步，通过反例证实3的倍数的特征。

评课中，多数教师认为，五步教学活动是连贯的，步步深入，逐渐接近数学的本质内容；五步教学活动也是严谨的，不仅研究了正例，也研究了反例，便于学生利用结论进行判断；五步教学活动更是符合学生认知规律的，借助形象直观，及时进行抽象与归纳，能够有效地突破难点。

倍数和因数这一概念源于整除。整除就是“分一分”。3的倍数就是这个数是否可以3个3个地分，最后没有余数。基于这样的思考，笔者对于《3的倍数的特征》的教学进行了一些尝试：

1. 分一分小棒。

（1）出示：3根、6根、9根小棒，让学生分一分后得出结论：3、6、9是3的倍数。

再出示：3捆（10根为一捆）、6捆、9捆小棒，让学生分一分。3捆6根、6捆9根等，让学生接着分一分。

（2）再出示：3大捆（100根为一捆）、6大捆、9大捆小棒图，让学生分一分。再让学生分一分3大捆9捆6根小棒图。

师：你们发现了什么？（一个数各个数位上的数是3的倍数，这个数就是3的倍数）

2. 画一画小棒图。

（1） 出示1大捆2捆3根小棒图（图1）。

师：这是多少？（123）分一分，这个数是否是3的倍数？

1大捆中的99根小棒是3的倍数，因此百位还剩1根小棒；2捆可以分为2个一捆，每捆中的9根也是3的倍数，因此2捆中各剩下1根小棒，也就是十位还剩2根小棒。现在要判断123是否是3的倍数，只要看哪部分？

生：看余下的根数，即1+2+3。

（2）出示2大捆3捆9根小棒图，让学生画一画。

3. 分一分数。

出示2142、3475，让学生分组研究这两个数是否是3的倍数（图2）。

师：由此，判断一个数是不是3的倍数，需要通过整个数除以3来判断吗？

生：只要看各位上的数除以3以后余下的数的和是不是3的倍数就可以了。

师：那个位上的数除以3余下的数与原来数位上的数有什么关系？（它们是相同的）

师（归纳）：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【比较思考】——两相权衡取其理

首都师范大学数学科学学院方运加老师曾说：讲授数学知识应强调通过逻辑链条以及由浅入深的认知路径，将数学新知识揭示给学生，这样才符合数学学习的特点，才能发挥数学知识的智慧作用。笔者认为，数学实验也应如此。与教材中安排的数珠实验相比，这样实验，不仅教学“知其然”，而且教学“知其所以然”，具有一定的难度，它挑战了学生的思维，也将学生的思维由“薄”变“厚”。这种从根本处探寻，寻到思维原点的实验，无疑给学生打开了一扇窗，让学生不仅看到了现象，更理解了本质。

三、给力数学实验，整“合”促进学生萌生表质不同的“理性”批判

1. 想象丰富数学实验

全国著名特级教師刘松在第23届“现代与经典”教学活动中执教《玩转三角形》后，介绍设计这节课的原因——源自一节实践活动课：学生将长方形硬纸板的长粘在小棒上，然后不停地旋转，教师原本希望孩子能说出“我能看见以长方形的长为轴，旋转一周，能形成一个圆柱”，岂料，学生竟说“老师，我什么也看不见”。

成人无须实验就能得到的结论，为什么孩子百般疑惑也得不到？因为成人对于这一结论的获得是借助的想象，而孩子只能凭借观察，观察实验的结果，真的是“看见的，并不一定是真的”。因此，笔者认为，与其动手实验，倒不如让学生掩卷闭眼进行想象，进行长时间的思考后，还可以借助多媒体技术进行直观演示或观察生活中的旋转门图片进行验证。

2. 推理论证支撑数学实验

教学《平行线》时，对于“平行线间的垂直线段长度相等”这一知识点的教学，多数教师是这样做的：先让学生画出几条平行线间的垂直线段后，再让学生用尺子量一量这几条垂直线段的长度，通过实验验证得出结论——两条平行线间的垂直线段长度相等。

对此，笔者认为，用数学实验的方法量“平行线间的垂直线段的长度相等”，因学生画图不规范或尺子的问题，一定会存在误差，并且平行线间的垂直线段有无数条，又岂是一把尺子能量得完的？笔者认为，这里的实验验证只是“浅尝辄止”，缺少推理论证的支撑。教者可在学生量出几条垂直线段的长度后，再引导学生发现任何两条垂直线段和这两条平行线围成的都是一个长方形。只要我们确认“长方形的对边是相等的”，我们就能同时确认“两条平行线间的所有垂直线段的长度都相等”。

【比较思考】——舍“动”得“静”方显理

郑毓信教授在《为学生思维发展而教》的报告中指出：数学教学应该是“认真地想，静静地听，轻轻地说”，数学课堂应该是思维的课堂、安静的课堂、开放的课堂。数学实验这一探索活动，引导学生进入“做数学”的境界，激发学生动手和探索的兴趣。但它并不是一把解决问题的万能钥匙。因为，并不是每节数学课的教学内容都可以用实验的形式进行组织的。我们除了可以合理地选择课题，还需要与其他思维方式整合运用。包含实验的数学课堂，往往是热闹的“动手”，但我们必须要将单纯地“动手”向“动脑”发展，用“静静地思”架设它们之间的桥梁，用想象、论证推理或丰富或支撑起数学实验，方能显现数学的理性之美。

郑毓信教授在报告中说：数学的核心是理性精神。无论课程教学怎么改革，数学教育都要牢牢抓住数学的基本问题。数学教学中，教师要“拣精剔肥”，科学地选择数学实验，合理地安排数学实验，有效地进行数学实验，方能促进学生的思维发展和理性精神的养成。