李衍杰

摘要：诱导式教学通过学生对结论的猜想、发现和验证，让学生体会到探索的乐趣，从而培养学生的探索精神。本文主要结合诱导式教学方法，探讨了该方法在优化与最优控制中的运用。诱导式教学注重于引导，而非简单地灌输。通过循序渐进的诱导式教学，培养建立起学生的研究意识和创新能力。本文结合优化与最优控制课程中的知识点，对诱导式教学进行了初步阐述，以期能够增强学生对课程知识点的掌握和提高学生的探索研究精神。

关键词：诱导式教学；优化与最优控制；研究探索

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）33-0112-03

诱导式教学强调学生是学习的主体，老师的主要作用在于引导，在课堂上充分调动学生的积极性和参与感，让学生体会到科研探索和猜想的重要性。在教学过程中，通过诱导式教学重现知识的发现过程，通过老师的诱导，让学生利用自己已有的知识去发现问题的根源，掌握知识点形成的整个过程。在诱导式教学过程中，学生由已知到未知，符合人类的认知过程，有助于增加学生的成就感。诱导式教学是将老师的教和学生的思结合起来，弱化老师教的作用，引导学生多思考。本文针对最优控制课程中的几个关键知识点，展开对诱导式教学方法的运用，以期培养学生的探索精神并深化对知识点的掌握。

一、循序渐进，由点到面

在凸优化理论的相关教学过程中，首先从一般优化问题入手，强调一般优化问题的求解难度，然后转而诱导学生思考是不是所有优化问题都是难以求解的，当学生处于一筹莫展时，引导学生能不能找到容易求解的优化问题。从而引入线性规划和最小二乘问题，然后讲解这两类问题的相关结论，重点突出它们是容易求解的，同时结合几个实际应用的实例，加深学生对两类问题的理解和运用。在此基础上，进一步的诱导学生思考，除了这两类问题之外，能不能找到其他的优化问题是易于求解的，能不能找到更广泛的易求解优化问题。为此，首先引导学生观察最小二乘问题目标函数的特点，让学生注意到最小二乘问题的2-范数形式min‖Ax-b‖ ，在此基础上，引导学生回顾2-范数满足三角不等式，即

‖αx+βy‖ ≤α‖x‖ +β‖y‖ （1）

而同时，让学生注意到线性规划的目标函数为线性函数，满足

f（αx+βy）=αf（x）+βf（y） （2）

此时，让学生观察（1）式和（2）的不同，诱导学生思考能否将两式结合起来得到一类更广泛的函数类，即结合三角不等式和线性等式，该函数应该满足下列不等式

f（αx+βy）≤αf（x）+βf（y）

从而引出凸函数和凸优化的概念。通过这样循序渐进的过程，由最小二乘和线性规划两个点拓展到凸优化问题整个面。不仅可以让学生理解凸优化和最小二乘及线性规划的关系，而且这种由特殊到一般的推理思考过程有助于锻炼学生的科研探索能力。

二、知其然，知其所以然

对偶性理论是凸优化理论的难点，其中不乏有大量的函数定义，譬如拉格朗日函数、对偶函数等，很多教材和专著出于逻辑性的考虑，往往直接给出这些函数的定义，对于为什么引入这个概念多不给出解释。学生对这些概念和定义可以倒背如流，对知识点往往是不假思索、囫囵吞枣式地接受，学生多数处于被动式的接受。为了加深学生对这些概念的认识同时理解引入这些概念的原因，可以采用诱导的方式，追根溯源，建立起对这些知识点起源的探索与思考。回到优化问题的这个基本点上，优化问题的核心问题是解决下列带有约束的优化问题

首先，引导学生思考如何处理约束的影响。一种最简单的思路是将带约束的优化问题转变为无约束的优化问题，为此，可以考虑构造一个函数M（x）使得下式成立：

M（x）=f （x） x∈D∞ x？埸D （3）

这里D为原优化问题的可行域。从而原约束问题转化为无约束优化问题minimize M（x），然后，诱导学生思考如何构造函数M（x），学生可能想出很多种构造方法，挑出其中几种讲解其合理性和不合理性。在这些基础上，老师引导构造一种如下最简单的构造方式：

这里I （u）为示性函数，即当u≤0时，I （u）=0，当u>0时，I （u）=∞；I （u）也为示性函数，当u=0时，I （u）=0，当u为其他值时，I （u）=∞。对于这个函数，明显满足条件（3）。诱导学生思考这个函数有什么缺点？然后点明I （u）和I （u）函数很奇怪，不连续，有些函数值是无穷大，这将导致M（x）函数的最小化非常难求解，为此，可进一步引导学生思考能不能找一些简单的容易处理的函数来代替函数I （u）和I （u）。学生可能会给出很多不同的答案，此时，老师引导学生用线性函数代替函数I （u）和I （u）。因此，考虑下列函数：

这个函数是教材中给出的拉格朗日函数。诱导学生思考用函数L（x，λ，ν）替换函数替函数I （u）和

I （u）的可行性并产生怀疑，原因是因为函数L（x，λ，ν）不满足条件（3）。让学生展开讨论，并说出自己的理由。在此基础上，老师进一步解释为什么不能直接用函数L（x，λ，ν）。考虑能不能将函数L（x，λ，ν）改造成一个符合条件（3）的函数。让学生展开探讨并说明相关的结果。如果学生没有探讨出结果，可给出下面函数：

然后详细地讲解上述函数是如何满足条件（3），强调不等书约束f （x）≤0需要λ ≥0而等式h （x）=0则要求v 无约束。因而原优化问题可等价为 L（x，λ，ν）的最小最大問题。至此可再次设疑，让学生思考这种变形能否有助于原优化问题的求解，引导学生思考最小最大是否可以交换顺序，得到 L（x，λ，ν），其中函数 L（x，λ，ν）即为教材中的拉格朗日对偶函数。针对最小最大是否可以交换顺序的问题，可诱导学生引出强对偶和弱对偶的概念。基于上述讨论，把整个对偶性理论串联起来，学生易于接受和理解，知其然，更知其所以然。

三、理论联系实际，以研究心态探索知识

在教学过程中结合实例讲解，往往取得事半功倍的效果。在优化与最优控制教学过程中，为了展示最小二乘、线性规划和凸优化的应用，可从教材中的一个实例入手，探索最小二乘、权重最小二乘、线性规划和凸优化等建模描述的過程，并且以研究的心态完成整个实例的讲解。例如，以求解合适的灯泡功率使得路面的光照强度达到预期的要求为例，引导学生去研究这样的实际问题。首先对问题进行建模，通过物理实验采集光照强度与灯泡功率的数据。在此基础上，通过合理性假设，得到光照强度与灯泡功率间的线性拟合关系，然后探索解决达到预期照明强度的方法，该过程可以通过由易到难、由特殊到一般的过程。首先假设所有灯泡的功率是一样的，将问题简化为单变量的优化问题，这样学生也容易接受，然后探索最小二乘在该问题中的应用。为了避免最小二乘问题最优解超出可行范围的缺陷，可引导学生引入带有权重的最小二乘问题。此外，可引导学生将最小二乘问题的2-范数改为1范数，探索线性规划在该问题中的应用。最后，通过引入对数函数，将问题最终建模为凸优化问题。通过一步步的改进，模拟在实际研究工作中不断改进和完善的过程，最终让学生体验到研究是如何完成的。

四、前后贯通，触类旁通

最优控制问题在多数的教材中基本上是与最优化问题隔离开的，特别是在讲解如何处理控制量受约束时，主要采用的最大值原理和动态规划离散化求解。为了增加最优化问题与最优控制问题的联系，在课程中，可引导学生采用将带有约束的最优控制问题转化为一般的无约束的最优控制问题的思路。譬如考虑如下最优控制问题：

通常情况下，可采用最大值原理来求解上述带有控制约束的最优控制问题。在授课过程中，让学生回顾凸优化中将约束优化问题转化为无约束问题的思路，引导学生思考如何将最优控制问题转化为无约束优化问题。为此，借鉴凸优化中内点法的障碍函数的构造思路引导学生构造一个障碍函数来约束控制u（t） 在可行的范围内，从而引导学生在一般优化问题与最优控制问题之间建立起更多的联系，做到前后贯通，触类旁通。

五、结论

本文结合最优控制中的知识点，通过诱导式教学方法，引导学生对所学内容展开思考，这样不仅增强了学生对课程内容的理解和掌握，也极大增加了学生对所学知识的研究兴趣，从而有助于树立研究生的研究探索意识。

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