王 松

（湖北省武汉市武汉第三寄宿中学）

笔者在研读近几年有关中考命题、解题类文章时，发现很多有关“共顶点三角形旋转”模型的文章，一直困惑于此模型的辅助线是如何产生的？本文以一道几何题为线索，从图形位似的角度，谈谈自己对此类问题的理解.

题目如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）.

（B）π

（D）2

图1

一、问题起源

人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第27章第3节“位似”中给出了位似的概念.依据题目给出的条件不难判断动点P和动点M的连线都经过同一点C，且，故可以判定点P的运动轨迹与点M的运动轨迹是以点C为位似中心，位似比为2∶1的位似图形.进而可知点M的运动轨迹是以1为半径的半圆，其路径长为π.

显然，对于平面内一定点O和动点P，连接OP，在线段OP上取一点Q，始终满足（k为定值）.如果规定动点P在一条确定直线l上运动时（如图2），依据位似的定义可知，点Q的运动轨迹必为一条与直线l平行的直线.进而，若点P的运动轨迹为直线l上某一线段PP1时，点Q的运动轨迹必为一条平行于线段PP1的线段QQ1，且有QQ1=k·PP1.如果规定动点P在一确定⊙R上运动时（如图3），依据位似的定义可知，点Q的运动轨迹必为一个圆（其圆心R1与点R，O三点共线），且有C⊙R1=k·C⊙R.

图2

图3

当然，动点P的运动轨迹可以定义为任意轨迹，动点Q的运动轨迹将始终保证与动点P的运动轨迹关于定点O成位似图形，由于情况多样而本质不变，故不再……