梁文威

（广东省江门市新会区会城源清中学）

2017年广东省中考数学压轴题考查了在平面直角坐标系背景下，已知矩形对角线上动点生成的平面几何问题与二次函数最值问题，既考查了学生的空间想象能力，又考查了分类讨论和函数思想，比较全面地考查了学生的数学核心素养，体现了中考数学压轴题考能力、考创新、考发展的要求，对今后一段时间的广东省初中数学教学起着重要的导向作用.笔者就2017年广东省中考数学压轴题进行探究与分析，并对相关结论进行拓展与推广.

一、试题呈现

题目如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0，2 )和，点D是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF.

（1）填空：点B的坐标为_____.

（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，求出AD的长度；若不存在，说明理由.

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值.

图1

二、解法探究

1.第（1）（2）小题的解法探究

第（1）小题考查了平面直角坐标系的基本概念，点B的坐标为.

第（2）小题中求使△DEC是等腰三角形时，线段AD的长.题目中隐藏了一个重要条件∠ACO=30°，而且还要考虑图1（1）和图1（2）的两种情况.第一种情况：如图1（1），由ED=EC，不难得到△BCD是等边三角形，进而可得∠DAB=∠DBA=30°.所以AD=BD=2.第二种情况：如图1（2），由CD=CE，易知∠CDE=15°，∠ADB=75°.进而可得∠ADB=∠ABD=75°.所以

解：（1）点B的坐标为

（2）存在；理由如下：

因为四边形ABCO是矩形，

所以 ∠ACO=30°.

情况1：如图1（1），当点E在点C左侧时，

因为△DEC是等腰三角形，即ED=EC，

所以∠ACO=∠EDC=30°.

因为DE⊥DB，所以∠BDC=60°.

又因为……