陈 锋

（江苏省无锡市太湖格致中学）

问题是数学的“心脏”，以问题为导向，以探究为主线，来启迪学生的思维，会对学生的思考探究起到方向性和指导性的作用，从而引导学生学会获取知识的本领，把握正确的学习方法，真正领悟数学的思想和方法，进而提高核心素养.

那么，如何通过问题来引导学生更有效地学习呢？2017年10月，在一次名师工作室汇报展示活动中，笔者讲授了一节八年级上学期期中考试复习课“全等三角形（1）”，赢得了听课教师的高度评价.现将该节课中问题导学的教学片断，以及笔者对问题导学的点滴思考呈现出来，与各位同行分享.

图1

一、多元化课堂问题导学的教学策略

1.设置并列式问题，回顾知识，在追问中构建认知结构

教学片断1：教师展示题目，如图1，△ABC≌△FDE．

第一步：知识回顾.

问题1：从图1中，你能得到哪些结论？

生1：AB=FD，AC=FE，BC=DE.

师：在图1中，除了可以得到这些相等的线段以外，你还能得到什么？

生2：角相等，如∠ACB=∠FED.

生3：线段平行，如AC∥FE.

生4：线段相等，如AF=BD.

师：同学们是根据什么知识得到这些结论的？

生4：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.

教师板书：全等三角形的性质——知识点.

第二步：知识整合.

问题2：怎样找对应边和对应角呢？

生5：从已知条件△ABC≌△FDE，可以知道AC的对应边是FE.

师：很好，生5从题目中给出的数学符号语言找到了对应边，还有与生5不同的方法吗？

生6：我是从图中看出来的.因为将三角形平移以后可以得到AC与FE重合，所以AC的对应边是FE.

师：这两位同学用不同的方法找到了对应边，他们的方法都很好.我们可以根据题目的条件，寻找合适的方法来找对应.

教师板书：找对应——方法点.

问题3：AF=BD，AC∥FE也是用这一知识直接得到的吗？

生6：不是的.由全等三角形的性质可以得到AB=FD.再由AB=FD，分别减去公共线段FB，能得到AF=BD.

师：非常棒，生6将直接量（对应边AB=FD）转化为间接量（相等线段AF=BD），这里体现了一个重要的数学思想——转化思想.

效能分析：知识的复习是建立在学生已有认知的基础之上的，由于前一阶段的新课学习，学生头脑中对全等三角形的性质已有初步的概念，只是由于间隔时间较长有所遗忘，因此教师采用了一组并列式的问题，让学生在解决问题的过程中重构知识.首先，通过一个开放性的问题1，引导学生回顾了全等三角形所有的性质，然后通过一个追问帮助学生整合找对应的两种方法，即从题目条件△ABC≌△FDE（符号语言）中找对应和从图形中的两个三角形全等（图形语言）中找对应.最后通过问题3引导学生将直接量（对应边相等）转化为间接量（线段相等），明确转化思想和技能.这三个并列的问题分别从知识技能的梳理、整合、重组的角度直接指向各知识点，通过教师的及时追问，激活学生的原有认知，并以此成为学生将知识网络化的节点和生长点.

2.提供递进式问题，梳理方法，在追问中拓展策略技能

教学片断2：见图1.

第一步：方法梳理.

问题1：如图1，在△ABC和△FDE中，要说明△ABC≌△FDE，需要添加几个条件？

生7：三个条件.

师：你是根据什么知识知道要添加三个条件的？具体可以添加哪些条件？

生8：根据全等三角形的判定方法，具体为SSS，SAS，ASA，AAS.

师：在这三个条件中至少要有一组什么条件？

生9：至少要有一组对应边相等.

问题2：如图1，在Rt△ABC和Rt△FDE中，要说明△ABC≌△FDE，需要添加几个条件？

生10：只要添两个条件就可以.

第二步：对比分析.

师：图形没变，为什么添加的条件变少了？

生11：虽然图形没变，但是题目中将两个一般三角形变成了两个直角三角形.

师：生11关注到了题目的细微变化，看来会寻求题目中的有用信息也是一种能力.

师：在现有条件的基础上，再增加一个条件BC=DE，那么要说明△ABC≌△FDE，则需要添加什么条件？

生12：我添的是AB=FD.

师：你为什么认为添加AB=FD就能说明△ABC≌△FDE呢？

生12：根据题目，已有的条件是BC=DE和∠ABC=∠FDE=90°，也就是有了一组对应边和一组对应角相等.再根据全等三角形的判定方法“SAS”，我选择AB=FD.

师：生12从已知条件开始进行分析，联想到用“SAS”的判定方法，还缺少AB=FD.

师：这道题目只能添加AB=FD吗？只能用“SAS”的方法来判定两个三角形全等吗？还有其他方法吗？

生13：用“ASA”的判定方法，可以添加∠C=∠E；用“AAS”的判定方法，可以添加∠A=∠EFD；用“HL”的判定方法，可以添加AC=FE.

师：我们根据四种判定方法，添加了四个条件，那么是否只能添加这四个条件呢？

生14：可以添加AF=BD或AC∥FE.

第三步：策略提升.

师：为什么？你的理由是什么？

生14：由AB=FD，知道添加AF=BD也可以；由∠A=∠EFD，知道添加AC∥FE也对.

师：也就是AF=BD可以转为AB=FD，进而得到△ABC≌△FDE.由AC∥FE，可以推出∠A=∠EFD，也能得到△ABC≌△FDE.这里体现了转化思想，只是这里将间接量（AF=BD或AC∥FE）转化为直接量（AB=FD，∠A=∠EFD）.

问题3：如图2，在Rt△ABC和Rt△FDC中，BC=DC，要说明△ABC≌△FDC，则需要添加几个条件？

生15：添加一个条件.

图2

生16：不需要添任何条件，就能说明△ABC≌△FDC.

师：为什么不需要添加任何条件？

生16：我用了“ASA”的判定方法.由∠CDF=∠CBA=90°，BC=DC，∠C=∠C，得△ABC≌ △FDC.

生15：你不是添加∠C=∠C这一条件了吗？

生16：∠C=∠C这个条件是不用添加的，因为∠C是图中的公共角.

师：生15，你认为呢？

生15：是的.

师：∠C就是图形中的隐含条件，那么图形中的哪些量可以作为隐含条件？

生17：图形中的公共边、公共角、对顶角都可以作为隐含条件.

效能分析：在前一阶段全等三角形的学习中，学生对部分知识容易产生忽视点和易错点.在这一环节，首先，教师通过细微的条件变化（“在△ABC和△FDE中”变为“在Rt△ABC和Rt△FDE中”），让学生学会在文本中发现有用信息，再通过增添条件BC=DE，自然地从认知性问题递进到方法性问题，让学生学会根据所给条件自主合理地选择全等三角形的判定方法，并强化将间接量转化为直接量的方法.最后，通过改变图形，将问题递进到策略性问题，让学生学会发现图形中隐含信息的技巧策略.教师利用这一连串递进式的问题，将知识、方法、策略三个维度中学生应具备的技能方法都罗列其中，学生在问题的解答中暴露出技能方法的不足，再通过教师的追问，及时弥补不足，从而提高了复习的效能.

3.设置探索式问题，提升能力，在追问中激活思维品质

教学片断3：教师出示如下题目.

如图3，在△CBE和△ACF中，∠BEC=∠CFA=90°，CA=CB，∠BCA=90°.

图3

第一步：合理猜想.

问题1：你们知道图3中EF，BE，AF三条线段有怎样的数量关系吗？

学生思考后有如下回答.

生18：我认为这三条线段的数量关系是EF+AF=BE.

师：为什么存在这样的数量关系呢？

生18：我是用直尺量了EF，BE，AF三条线段的长度，分别为EF=0.6cm，AF=1.4cm，BE=2cm.

师：很好，猜想是证明的前提，而且生18的猜想是建立在实际测量的基础上的.这三条线段的数量关系我们已经猜想出来了，那么大家会证明吗？

生19：只要证明△BCE≌△CAF就可以了.

第二步：推理验证.

师：现在已知条件只有∠BEC=∠CFA和CA=CB，怎么证明这两个三角形全等呢？

生20：因为 ∠BCA=90°，所以 ∠BCF+∠FCA=90°.又因为 ∠BEC=90°，所以 ∠BCF+∠CBE=90°. 所以∠FCA=∠CBE.用“AAS”的判定方法，就能证明△BCE≌△CAF.进而就能得到EF+AF=BE.

问题2：如图4，在△CBE和△ACF中，∠BEC=∠CFA=∠α，CA=CB，试添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF+AF=BE仍然成立.

图4

生21：我猜想∠α+∠BCA=180°.

师：你是怎样猜的？

生21：我用量角器量出了∠α与∠BCA的度数，猜想出∠α+∠BCA=180°.

师：很好，大家都是用测量的方法来猜想的吗？

生22：我的方法不一样.由问题1中∠BCA=90°和∠BEC=∠CFA=90°，我猜想∠α与∠BCA的关系可能有两种，即∠α+∠BCA=180°或∠α=∠BCA. 而图4中∠α与∠BCA的大小不相等，所以我猜想∠α+∠BCA=180°.

师：真棒！生22结合前一问题的数量关系和图形进行猜想，这种数形结合的猜想方法，值得大家学习.那么大家会证明吗？

生：同样，只要证明△BCE≌△CAF就可以了.

问题3：如图5，在△CBE和△ACF中，∠BEC=∠CFA= ∠α，CA=CB，∠α=∠BCA，试提出EF，BE，AF三条线段的数量关系的合理猜想.

图5

生：EF=BE+AF.

第三步：领悟本质.

师：这一题组从图3改变图形得到了图4，再改变图形的位置得到了图5，这一组题目图形在变化，但什么没有改变？

生：两个三角形全等.

师：在解决这种系列问题时，要学会抓本质，从所用的方法（三角形全等）和结论两个方面去考虑.

效能分析：学生的探究力和思维度必须通过探究活动来加以提升，在这一环节中，教师通过问题1让学生探究全等三角形应用的基本方法和流程，学会勇于猜想；再以问题1为基础，通过图形变化（图4），让学生体会应该根据应有的条件进行合理猜想和科学验证；接着通过图形的再次变化（图5），让学生的探索提升至思维的层面，让学生在探索的过程中自觉地进行前后比较、相互联想，激起学生解决问题的意识，从而让学生的思维走进科学探究的殿堂.这一探索式问题中，教师一系列的追问从不同角度、不同层次培养了学生思维的深刻性，让学生在对问题的思辨中，不断完善思维品质.

二、对本节课多元化课堂问题导学的交流点评

课后有学生反映，以前学的有关三角形全等的知识（性质、判断以及运用）是零散的，在脑子里很乱.这节课通过多元化的课堂问题引导学生学习，帮助学生弄清楚了全等三角形的性质、判定和运用之间的联系和区别，也知道了应该从什么角度去思考问题.整节课通过层递性、挑战性、探究性的问题，以追问为抓手，将目标任务化，任务问题化，问题活动化，活动程序化，程序具体化，层层推进，让知识和方法的回顾与学生思维交互起来，这些恰恰就是本节课的亮点所在，具体体现在如下方面.

1.通过“问”，达到教学的“学”与“构”的两个目标

本节课以全等三角形的定义、性质、判定，以及全等三角形的运用等知识，建立本章的知识、技能方法、思想的结构图.片断1中，学生通过教师设置的问题回顾已学知识，在头脑中建构起一幅全等三角形性质的知识结构图；通过教师的追问迁移如何有效找出全等三角形性质的方法，进而建构了一幅找全等三角形性质的技能结构图；片断2中，学生通过问题的解决，建构了一幅判断三角形全等的方法结构图.片断3中，通过三个变化的图形，让学生感受了数学思想的结构图.这些都是帮助学生自主建构知识、方法、技能的有效扶梯，着力培养学生的学力，进而引导学生的思考方式和思考角度，促进学生知识和思维方式的主动建构，达到“学”与“构”的目标.

2.通过“问”，体现教学的“明”与“暗”两条主线

本节课通过一系列问题引出了明、暗两条主线：一条是附于问题的知识结构层面的，链接知识点的横向网络的明线，直奔教学内容；另一条是贯穿在各追问中，体现数学思想方法的纵向网络的暗线.从全等三角形的性质，过渡到全等三角形的判定，再到全等三角形的运用，丝丝入扣，层层深入，明线和暗线始终贯穿于课堂，明线服务于暗线，暗线依附于明线，两条线相得益彰，相互作用.这两条主线都是从学生的元认知水平出发，通过所设置的问题在串联明线的进程，同时设置的问题具有一定的层次性和较强的探究性，将学习的主动权还给学生，让其自主学习，给足学生个体自学和群体交流的时间，以此促进学生思维这条暗线的发展.

3.通过“问”，展示教学的“评”和“引”两种方式

课堂中的即时评价含有启发与引导的作用.教师有效地捕捉学生解决问题过程中发出的信息并及时给出评价，既是对学生思维的肯定，又是巧妙引导其他学生继续思考的有效途径.本节课中正是因为教师的及时肯定和鼓励，引发学生不断地在探索问题的过程中发现问题、提出问题.例如，“这位同学从图形上所给的信息进行了合理的猜想，非常好，那我们从题目所给的信息是否也能得到相应的猜想呢？”这既是对学生回答的评价，同时又从思考问题的角度对其他学生进行启发.又如，一些鼓励性语句“让我们换个角度再想想，我们能否更优化一些，……”不仅处处体现了教师的人文关怀，而且引导了学生的思维走向.本节课的“评”在营造师生和谐交流氛围的同时，对学生的思考提供了方法、明确了方向.

4.通过“问”，落实学生数学核心素养的提升

复习课的教学最终还是要落实在学生数学核心素养的提升上.通过追问不仅可以帮助学生明确自己的不足和努力的方向，可以关注学生已掌握了哪些知识，获得了哪些方法，具备了哪些能力，在哪些方面还需要提升，而且可以将不可测量的思维外显化、深度化，从而将知识教学发展为能力教学和素养教学，提升数学核心素养.

本节课中，教师通过元认知性的追问“在图中，我们除了可以得到这些相等线段以外，你还能得到什么”来培养学生的几何直观素养；用认知性的追问“你是根据什么知识知道要添加三个条件的？具体可以添加哪些条件？”“是否只能添加这四个条件？”来建构知识结构和引导课堂探究的脉络，从而有利于学生数学抽象素养的提升；通过“为什么它们之间存在这样的数量关系呢？”“为什么不需要添加任何条件？”“这一组题目图形在变化，但什么没有改变？”这样策略性的追问，提升了学生的逻辑推理素养.

三、结束语

在整个课堂建构中，处处体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，所有问题基本都是学生自主解答完成，教师只是穿针引线，适时地发挥引导作用.不过，就问题的设计而言，笔者认为似乎少了些什么.首先，作为期中复习课，本节课只是涉及了“全等三角形”这一章的知识，没有和其他章节（如刚学的勾股定理等）相关的知识进行有机的联系，有点遗憾.其次，就全等三角形相关知识而言，图形的运动（平移、旋转、翻折）也是全等三角形判定的重要内容和方法之一，而本节课没有一道题涉及到图形的运动问题，在学生的知识建构过程中并未体现出来，因此，学生头脑中的全等三角形知识结构图就显得不是那么完整.如果能通过一些问题的设计，将图形运动的相关知识也融入进来，这节课将更加完美.但是，这样一来，整节课的容量将十分庞大，这将与有限的课堂时间产生矛盾，这也是值得探讨的地方.

更多配套资源和线上服务，微信扫描本期封二二维码，即可获取。加入《中国数学教育》读者圈，了解最新资讯，参与编读互动，可以有机会与作者直接交流。