吴世光　姜淳

摘 要：在简单二元组热子晶体中周期的掺入第三种介质形成周期掺杂热子晶体，利用转移矩阵法和布洛赫定理推导出该结构的色散关系式。在各组分厚度不变的情况下与简单二元组结构对比，周期掺杂热子晶体的第一禁带的起始频率、截止频率、带宽都显著减小；当掺杂热子晶体杂质层厚度增加，第一禁带的起始频率缓慢减小，而第一禁带的截止频率和带宽快速增加；随着晶格常数的增加，周期掺杂热子晶体的第一禁带的起始频率、截止频率、带宽都逐渐减小。这对热能控制、热能传输有着一定的指导意义。

关键词：热子晶体；周期掺杂；转移矩阵；带隙

中图分类号：O734 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2018）21-0032-03

Abstract： The third kind of medium is periodically doped into the simple binary system to form periodic doped thermocrystals. The dispersion relation of the structure is derived by using the transfer matrix method and Bloch theorem. Compared with the simple binary structure， the starting frequency， the cut-off frequency and the bandwidth of the first band gap of the periodic doped thermosonic crystals decrease significantly with the same thickness of each component， and the thickness of the impurity layer increases with the increase of the doping thermosonic crystal thickness. The initial frequency of the first band gap decreases slowly， while the cut-off frequency and bandwidth of the first band gap increase rapidly. With the increase of lattice constant， the initial frequency， cut-off frequency and bandwidth of the first band gap of periodic doped thermosubcrystals decrease gradually. This has a certain guiding significance for heat energy control and heat energy transmission.

Keywords： thermal crystal； periodic doping； transfer matrix； band gap

引言

声子晶体的概念[1]是M. S. Kushwsha在1993 年提出的。在声子晶体中，弹性常数和密度不同的材料按结构周期性复合在一起。弹性波在声子晶体中传播时会与声子晶体的周期结构发生相互作用，会产生带隙现象。在声子晶体中引入缺陷体后禁带中会形成缺陷模，与缺陷模频率共振的弹性波可以通过声子晶体。由于利用声子晶体的带隙可以十分方便地控制弹性波的传播，因此声子晶体在现代科学技术上有着十分广泛的应用。

声波和热波都可以被描述为通过原子晶格传输的弹性波，类比于声子晶体，Martin Maldovan在2013年又提出了热子晶体的概念[2]，通过改变材料参数以及让晶格常数为纳米级情况下可以制作出热子晶体。由于弹性波和热波都是弹性波，弹性波和热波可以使用相同数值计算方法。然而，它们之间的一个区别在于，大多数弹性波在低频（千赫）下振荡，而大多数热振动在高频率（太赫兹）下振荡。目前研究弹性波的理论方法很多，主要有转移矩阵法[3-5]、平面波展开法[5，6]、有限元法[7]和多重散射法。本文首先在简单二元组热子晶体结构AB中周期的掺入第三种介质形成ABCAB掺杂三元组周期结构，然后利用转移矩阵发和布洛赫原理推導出该掺杂结构的色散关系式，并与简单二元组热子晶体结构的仿真进行对比，并且同时改变了杂质层厚度和晶格常数，研究杂质层厚度和晶格常数对第一禁带的影响。

1 模型与计算原理

1.1 简单二元组结构模型

图1是一维热子晶体的一个周期结构示意图，两种不同弹性常数和密度的材料A和材料B在x方向上排列形成一维周期二元组结构，a1和a2分别表示材料A和材料B在一个周期中的厚度，a=a1+a2为晶格常数。

1.2 周期掺杂三元组结构模型

当在二元组结构中周期的掺入第三种材料C，形成周期掺杂的热子晶体的一个周期，其结构如图2，将“ABCAB”称为一个超周期，相应的将“AB”称为一个内周期，每个超周期内包含两个内周期，其中a为晶格常数，a1、a2、a3、a4、a5 为各组元的厚度。

2 结果与分析

2.1与二元组结构的对比

两种结构的晶格常数a分别2 nm和5 nm，简单二组元热子晶体结构为图1，其中A和B的厚度为1 nm，周期掺杂热子晶体结构如图2，各个组元厚度也为1 nm，选取的材料如表1：

根据式（1）可以仿真得到简单二组元结构的能带图3，根据式（12）可以仿真得到周期掺杂三元组结构的能带图4。从图3中可以看到简单二元组结构的第一禁带的起始频率为513.3GHz，截止频率为1185.5GHz，带隙宽度为672.2GHz；从图4中可以得到周期掺杂三组元结构的第一禁带的起始频率为184.1GHz，截止频率为364.1GHz，带隙宽度为180.0GHz；与简单二组元结构相比，在各个材料厚度不变的情况下，周期掺杂三组元结构能够大大降低第一禁带的起始和截止频率以及第一禁带的带宽，这对降低热子晶体带宽以及热能传输研究有重大的意义。

2.2 周期掺杂介质厚度对第一禁带的影响

为了研究介质C的厚度对第一禁带的影响，将介质C的厚度从1nm以0.5nm的间隔增加到3nm，材料A和B的厚度相同，根据周期掺杂三元组结构的色散关系，利用Matlab仿真可以得到第一禁带随介质C厚度变化的曲线图5。从图5中我们可以得到随着掺杂材料铜厚度的增加，周期掺杂三元组结构的第一禁带的起始频率缓慢的减小，而第一禁带的截止频率和带宽却随着介质C厚度的增加加速增大。

3 结束语

在简单二元组结构中周期的掺杂介质C形成周期掺杂三元组结构，基于传输矩阵法和布洛赫原理从理论上推导出该结构的色散关系式，仿真发现该结构的热子晶体相比简单二元组热子晶体，有更低的第一禁带起始频率和截止频率，利用此性质可以应用于低频传输热能；当改变周期掺杂介质铜的厚度时，第一禁带的起始频率缓慢的减少，第一禁带的截止频率和带宽随着厚度增加而快速增加；当逐渐增加晶格常数a时，第一禁带的起始频率、截止频率、带宽都逐渐减小；周期掺杂三元组热子晶体的这些性质对热传输、热能发电、热功能器件有着一定的参考意义。

参考文献：

[1]M. S. Kushwaha， P. Halevi， G. Martí， et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. International Journal of Modern Physics B， 1993，10（09）：977-1094.

[2]Maldovan M. Narrow low-frequency spectrum and heat management by thermocrystals[J]. Physical Review Letters， 2013，110（2）：025902.

[3]朱敏，方云团，沈廷根.一维声子晶体缺陷态的研究[J].人工晶体学报，2005，34（3）：536-541.

[4]Cao Y， Hou Z， Liu Y. Convergence problem of plane-wave expansion method for phononic crystals[J]. Physics Letters A， 2004，327（2）：247-253.

[5]郁殿龙.基于声子晶体理论的梁板类周期結构振动带隙特性研究[D].国防科学技术大学，2006.

[6]温激鸿.声子晶体振动带隙及减振特性研究[D].国防科学技术大学，2005.

[7]郁殿龙，刘耀宗，邱静，等.一维声子晶体振动特性与仿真[J].振动与冲击，2005，24（2）：92-94.

[8]Cai L W， Jr J H W. Large-scale multiple scattering problems[J]. Ultrasonics， 1999，37（7）：453-462.

[9]Liu Z， Chan C T， Sheng P， et al. Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects： Theory and experiment[J]. Physical Review B， 2000，62（4）：2446-2457.