广东省广州市第二中学(510530) 胡方杰

1 引言

“等周”就是周长为常数,“等周问题”就是在周长一定的一类指定的区域中,求面积最大的区域.逻辑上等价于问题:在某一类面积一定的区域中,求周长最小的区域.其实,由定长的曲线围成最大面积的问题可以追溯到罗马神话中的所谓黛朵问题.航船遇难,黛朵公主请求当地土著给她及随从们一块海边土地,土著答应了,但大小仅限于一张牛皮所围出的面积.聪明的公主将牛皮剪成尽可能细的牛皮条圈了一块地——她选择了半圆作为这块地的形状.相信大多数人都会赞同公主的选择,因为她实际上是在运用等周定理:“在给定周长的所有封闭曲线中,圆具有最大的面积.”实际上,比公主更早,我们人类乃至动物界与生俱来都在自觉不自觉地利用这个定理,寒冷的冬天,我们(包括动物)会缩成一团,为的就是在体积一定的情况下,尽量缩小自己的表面积,减少热量的损失,其缘由是在利用三维空间等周定理:“在给定体积的所有立体中,球具有最小的表面积.”

无论是二维还是三维,著名的等周定理从发现到证明花了人类两千多年的时间,也是数学史上被证明次数最多的一个定理之一,它为这样两类问题给出了解答:

(1)在具有某种性质的所有几何图形中,哪个有最大的面积或体积;

(2)在具有某种性质的所有几何图形中,哪个有最小的周长或表面积.

下面给出平面等周定理的具体表述:

定理……