广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

一、知识要点梳理

1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

[1]分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);

[2]求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;

[3]比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;

[4]回归实际问题作答.

2.利用导数证明不等式

[1]证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.其一般步骤如上图(右)所示.

[2]求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.

3.导数在研究函数零点或方程的根中的作用

[1]研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值、最值等.

[2]用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.

二、经典问题分析

例1 如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为___时,其容积最大.

图1

图2

点评此题是一道与立体几何进行交汇的实际问题,应注意蕴含条件的挖掘.

例2统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶……