广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

一、知识要点梳理

1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

[1]分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);

[2]求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;

[3]比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;

[4]回归实际问题作答.

2.利用导数证明不等式

[1]证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.其一般步骤如上图(右)所示.

[2]求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.

3.导数在研究函数零点或方程的根中的作用

[1]研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值、最值等.

[2]用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.

二、经典问题分析

例1 如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为___时,其容积最大.

图1

图2

点评此题是一道与立体几何进行交汇的实际问题,应注意蕴含条件的挖掘.

例2统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为.已知甲、乙两地相距100千米.

(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

点评在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意得到的结果应与实际情况相符合.在实际问题中,如果可导函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.

例3已知函数,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线e2x−y+e=0垂直(其中e为自然对数的底数).

(1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围;

点评构造函数借助导数证明不等式,本题使用了构造两个函数的技巧实现问题的求解.求解导函数综合问题的关键是如何化归为熟悉与简单的问题.

例4已知函数f(x)=ex+m−x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,求实数m的值;

(2)当m≥1时,证明:f(x)＞g(x)−x3.

解析(1)因为f′(x)=ex+m−3x2,由题意知f′(0)=em=1,解得m=0.

点评本题的函数中含有参数m,通过观察,发现可利用放缩法,可把参数m消去,然后转化为不含参的具体函数;本题是隐零点问题,关键是结合零点存在定理,利用设而不求的思想进行整体代换.

综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.

点评两个函数的图像的交点问题与函数的零点问题常常互相转化,关键是观察函数的表达式的特征,利用数形结合的数学思想方法决定解题策略;利用零点存在定理证明含参的函数的零点的存在性是此类问题的一大难点,如何赋值以确定函数值的符号是关键.

图3

点评本题把方程的根的个数问题化归为两个函数图像的交点问题;数形结合是函数零点、方程的根、两个函数的图像交点问题的利器.

点评本题是极值点偏移问题,第一问作了提示,解题过程一般要先求出极值点,通过构造差函数,并确定其单调性,再利用等量代换和逆用函数的单调性实现问题的求解;极值点偏移问题的本质是函数的单调性,关键是构造差函数,利用化归与转化的数学思想方法.

例9设函数f(x)=ex−ax−2.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若a=1,k为整数,且当x＞0时,(x−k)f′(x)+x+1＞0,求k的最大值.

解析(1)f(x)的定义域为(−∞,+∞),f′(x)=ex−a.若a≤ 0,则f′(x)＞0,所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增;若a＞0,则当x∈(−∞,lna)时,f′(x)＜0,f(x)在(−∞,lna)上单调递减;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)在(lna,+∞)上单调递增.

(2)解法1由于a=1,所以(x−k)f′(x)+x+1=(x−k)(ex−1)+x+1,设g(x)=(x−k)(ex−1)+x+1,则g′(x)=(x−k+1)ex.

[1]若k≤1,则x＞0时,g′(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)＞g(0)=1＞0,即有(x−k)f′(x)+x+1＞0.

[2]若k＞1,则当x∈(0,k−1)时,g′(x)＜0,g(x)在(0,k−1)上单调递减,当x∈(k−1,+∞)时,g′(x)＞0,g(x)在(k−1,+∞)上单调递增.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(k−1)=k−ek−1+1.令h(k)=k−ek−1+1,所以h′(k)=1−ek−1,当k＞1 时,h′(k)＜0,所以h(k)在(1,+∞)上单调递减,而h(2)=3−e＞0,h(3)=4−e2＜0,从而当1＜k≤2时,h(k)＞0,即g(k−1)＞0,从而当x＞0时,g(x)＞0,即(x−k)f′(x)+x+1＞0;当k≥ 3时,h(k)＜0,即g(k−1)＜0,从而当x＞0时,g(x)＜0,即(x−k)f′(x)+x+1＞0在(0,+∞)内恒不成立;

综上,整数k的最大值为2.

点评本题解法1是直接构造函数进行分类讨论解答的,是很多问题的一种通法,而解法2则利用分离参数思想,利用虚拟设根、结合零点存在定理进行整体代换解答的,也是一样常用的解题策略;分类讨论与设而不求思想方法都是数学中的重要思想方法,要熟练掌握并灵活运用.

点评对含量词的导数问题,以下是常见的转换策略.[1]设函数f(x)、g(x),对任意的x1∈[a,b],任意的x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max;[2]设函数f(x)、g(x),若存在x1∈[a,b],对任意的x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;[3]设函数f(x)、g(x),对任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min;[4]设函数f(x)、g(x),若存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min;[5]设函数f(x)、g(x),若对任意的x1∈[a,b],总存在x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,若f(x)、g(x)的值域分别为A,B,则A⊆B.