云南省昆明市宜良县职业高级中学(652100) 胡光明

对于抛物线y=ax2+bx+c,老师们一般只关注对定义(一般式、顶点式、交点式)、图像(画法)、一般性质(定义域、值域、开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值)及应用等内容的研究,很少注意更广泛的开拓性研究.

在教学中,笔者发现,抛物线y=ax2+bx+c还有一个很有趣的性质,写下来与同仁分享.

定理抛物线y=ax2+bx+c上依次取不重复的四个点,若第一点与第二点、第三点与第四点横坐标间距相等,则这四点构成的四边形是梯形,其两底的比值为定值.

图1

如图1,已知抛物线上四点A、B、C、D,A点和B点横坐标的间距与C点和D点横坐标的间距相等.求证:四边形ABCD为梯形,且为定值.

推论1抛物线y=ax2+bx+c上依次排列的四个点,若相邻两个点之间横坐标间距相等,则这四个点构成的四边形是梯形,其两底的比值为3.

推论2抛物线y=ax2+bx+c上依次排列的四个点,若相邻两个点之间横坐标间距都是1,则这四个点构成的四边形是梯形,其两底的比值为3.

这一定理在解一些相关联的题目时,有化难为易的功效,举例如下.

图2

例1如图2,已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.

(1)直接写出A、D、C三点的坐标;

(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;

(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

这是2014年广东省汕尾市的一道数学中考题(第25题),有一定难度.一般思路和解……