陈月霜

摘 要：高三数学复习的第一轮是基本知识、基本技能和基本方法的复习，而第二轮复习要在夯实基础知识的基础上，有所拔高提升。在传统二轮复习模式中穿插“微专题”，可以弥补传统的高三复习教学中的一些不足与缺陷，有利于学生系统、全面地掌握高中数学知识，同时也有助于学生深入地理解数学知识，保证其在高考时可以在数学科目中取得更优异的成绩。

关键词：微专题；数学教学；高三复习；实效性

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2018）24-0080-02

传统的高三数学第二轮复习中，有的教师还是采用学生做题、教师讲题、学生订正、再做新题的方式，简单重复第一轮的“双基”回顾，和第一轮复习没有很大区别；有的则采用专题形式，但专题往往比较大，因过于综合而脱离基础，而且复习时间跨度长，学生容易产生懈怠，出现了“高耗低能”的学习现象。近年来出现的“微专题”，有效解决了这一问题，改变了传统二轮复习口径太大，不能与高考命题设计的口径有效对接的状况，实效性强。

一、“微专题”的内涵解读

微专题，顾名思义，就是小型专题，是指立足于学生实际的、考试要求的，选择一些切入口小、针对性强、角度新的微型复习专题，力求解决真问题、小问题和实问题。微专题的时间一般在二十分钟左右，只突破一个教学目标，一个定理，一种数学方法。“微”只是形式，“专”才是其本质。

二、“微专题”的构建

1.源于考情，细化构建“微专题”

在专题复习的过程中，教师通过对考试说明的解读、历年真题的深入研究，针对某一高频考点，设置“微专题”，也可以通过各级各类考试后对相关数据的分析，及时掌握学生的考试信息，发现问题，有针对性地对薄弱问题设置“微专题”。在高三的市二检和近期的周考中，通过对兄弟学校、年级各个班级和各题的数据进行分析，发现学生解析几何大题的得分不理想。而近五年的全国卷固定会考查的解析几何这一大题是分两小题的，分值为4分和8分，第一小题都是求曲线的方程，而有的学生连第一小题的分数都拿不到，实在让人着急。针对这一情况，教师可制定以圆锥曲线方程求解的“微专题”。

例1：已知椭圆+=1（a>b>0）的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆y2=4x短轴的两个端点与F构成正三角形，求椭圆C的方程。解析：由已知可得C=，b=1，a=2，所求椭圆C的方程为+y2=1。设计意图：由椭圆这个学生熟悉的背景切入，紧扣焦点这个核心，引入相对基础的例题，给学生信心，同时体现三角形在平面几何中的联系地位。之后通过有效变式实现纵向加深，巩固基础知识。变式一：正三角形变为直角三角形。变式二：正三角形变为钝角三角形，求离心率e的范围。变式三：短轴的两个端点与F变为两个焦点和一个短轴的端点。变式四：两个焦点和一个短轴的端点构成直角三角形。变式五：已知椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点和两个短轴的端点构成的正方形面积为1，求椭圆C的方程。

有效变式是一种重要的数学问题解决方法，对典型问题进行一题多变，有利于学生从不同的背景中掌握方法，透过问题的表面看本质。这样，学生通过这道题通晓了这类问题，就能深刻理解这个考点，同时培养了分析问题、解决问题的能力。

2.源于学情，分类归纳，横向梳理构建“微专题”

不同学校、不同班级、不同学生存在的问题不同，复习的侧重点也应该不同。教师在平时的教学、小测和学生的练习中要做有心人，要善于发现并积累这些“不同”。根据学生反馈的学习情况构建“微专题”，这类专题能解决学生的真问题，补偿专题复习中的不足之处。有的学生能力不足，虽然之前做过求曲线方程的专题练习，但是仍然没有掌握好，没有反思，也不会归纳。针对这一情况，教师可设置以下“微专题”。

例2：（2016年天津高考）已知双曲线+=1（a>b>0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为 （ ）。A.-y2=1，B.x2-=1，C -=1，D. -=1。解题策略一：曲线方程已知，故只要求出a、b、c的值就可以了，可归为基本量法a、b、c求方程（基本量法）。及时的归纳总结，能帮助学生正确掌握解题思路，激发学生的学习乐趣。

例3：如图，已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程。分析：設动圆的半径为R， ∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，R<3。动圆P与圆M外切并且与圆N内切， ∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4。动点P到定点M和P到N的距离之和为定值，且|NM|=2。由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆。∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3，∴曲线C的方程为+=1（x≠-2）。变式训练：设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，证明|EA|+ |EB| 为定值，并写出点E的轨迹方程。分析：求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED。再由圆的定义和椭圆的定义 ，可得点E的轨迹为以A、B为焦点的椭圆。求得a=2，c=1，b=，∴曲线E的方程为+=1（y≠0） 。解题策略二：定义法求方程。

例4：如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|。当点P在圆x2+y2=1上运动时，求点M的轨迹C的方程。分析：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，∴y=2y0，y0=，1）∵点P在圆M上，∴x02+y02=1。2）将1）代入2），得点M的轨迹C的方程为x2+=1。解题策略三：相关点法（代入法）求方程。

教师通过这三道题目的分析与求解，归纳出解题思路，横向梳理，形成模板，让学困生遇题敢解、尽量拿分；中等生有信心（方法在手，遇题不愁），进而敢去尝试大题第二小题；学优生再次巩固，不丢分，能缩短解题时间，为第二小题的充裕时间打基础。

高考数学在试卷的命题上更偏向于综合性，知识交汇较多。源于考情和学情的微专题构建，不仅可以从主干知识方面实现纵向深入，还可以从数学各分支的横向联系出发进行构建，形成知识网络。在学生原有的知识结构基础上，有意识、有步骤地对构建的知识网络不断巩固、深化和扩张，不僅符合新课改所提出的“螺旋式上升”的要求，而且有利于学生真正地接受、理解和应用所构建的知识网络。

三、“微专题”的实施

第一，嵌入。在专题复习过程中，教师根据需要嵌入一个微小专题（小总结小归纳），突出教学的内容，加深学生的印象。教师也可以根据教学的需要（如质检后的评讲复习课）每节课2个～3个微专题，分别解决不同的教学问题。第二，整合。对于零散的知识找到一条主线，让知识之间、要素之间相互关联，做到举一反三。第三，补充。在复习过程中发现多数同学对某一教学内容仍存在疑惑，额外再加一个微专题，补充前面教学的不足。第四，总结。复习完一个专题内容之后，最后以一个微专题的形式总结并培养能力。

例如，立体几何复习后大部分学生对选填题中的三视图与表面积、体积这一题仍然感到困惑，有惧怕心理，不能得分。教师可针对这一问题实施“微专题”：三视图突破锥体、组合体难点。

环节一：题根：1. 如图所示，网络纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）。A.2+2+，B.4+ 2+，C.4+4+，D. 2++。分析：根据三视图的特点，借助长方体这一载体把三棱锥展示出来。

环节二：延伸：以下单位正方体背景中的红色三棱锥的三视图怎么画？体积为多少？学生通过对比三视图中的虚线实线、认识三角形四边形怎么投影的。

环节三：设置题组再训练：一个几何体由一个四棱锥和一个四棱柱组成，其三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）。A.72，B.76，C.80，D.112。分析：三视图对应的几何体是正方体上面一个底面梯形的四棱锥，V正方体=64，V四棱锥=12，如图。则几何体体积是76，因此本题选B。

环节四：变式1：一个几何体由一个三棱锥和一个四棱柱组成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）。A.72，B.76，C.80，D.112。分析：三视图对应的几何体是正方体上面一个底面等腰三角形的三棱锥，V正方体=64，V三棱锥=8，所以几何体体积是72，选A。变式2：一个几何体由一个四棱锥和一个四棱柱组成，其视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）。A.72，B.76，C.80，D.112。分析：三视图对应的几何体是正方体上面一个底面正方形的四棱锥，V正方体=64，V四棱锥=16，所以几何体体积是80，选C。

四、“微专题”的思考

微专题的实施是常规教学过程中的有机穿插，可以弥补传统教学的不足和缺陷，实现优化教学。借助“微专题”组织教学，可以在复习基础知识的同时，帮助学生形成良好的认知结构，活化知识的运用，提升解决问题的能力。师生通过总结可进一步完善各种题型的微专题，并应用于解决新问题，促进知识迁移，同时在这个过程中培养学生的良好反思习惯。当面对自己产生的错误时，学生会主动思考属于哪一类微专题，应该用什么样的方法来解决，甚至主动归纳错题类型。但微专题选择的难易度、切入角度的把握仍需要进一步探讨。

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