宋佳丽

摘 要：基于混沌（chaos）理论，从分形（fractal）结构的角度对贝多芬《c小调钢琴奏鸣曲》（Op.13）第一乐章进行分析后发现动机的音高结构及其中包含的音程关系三度、二度和四度作为初始条件映射不仅映射了引子，还映射了全曲调性布局，形成局部与整体的自相似性。进而发现因初始条件的映射，使得全曲各部分的调性除强调三度关系外，四度关系呈现出主导趋势，体现出贝多芬对传统调性结构的独立思考与重新审视，下属系调的地位被提升进一步丰富了奏鸣曲式的调性结构及调性色彩，使音乐具有前所未有的英雄性和戏剧性。

关键词： 混沌 分形 初始条件 自相似性 映射

一、引言

混沌分形理论是20世纪下半叶逐渐建立起来的新兴学说，“是现代科学和现代技术、特别是计算机技术相结合之产物。”①“混沌，指某种对初始条件②敏感的运动，在这种运动中， 从稍有不同的初始条件出发的轨线， 将以指数增加它们分离的程度；分形，指N维空间的一个点集的几何性质，在不同标度下， 具有自相似③性质， 而且具有小于N的非整数维数。”④“分形是混沌现象的几何描述。⑤”在音乐作品中，混沌表现为在时间序列上对初始条件的敏感依赖性，最终形成“蝴蝶效应”；分形则表现为在空间序列上形成初始条件与整体或者不同层次间的自相似性结构。而初始条件作为一个类似于动机或者乐思具有结构意义的单位通过在不同时间和空间序列轨道上映射⑥使音乐不断生成、发展和演化，可想其作用十分重要。笔者就以初始条件为起点，从分形结构的角度对该作品中的调性布局进行观察和分析。

《悲怆》奏鸣曲第一乐章的曲式结构为有引子、尾声的奏鸣曲式，其基本调性选取了具有“英雄性”特点的c小调。贝多芬在这首作品中除延续其早期创作风格外，还进行了一些突破，如在结构方面，该曲最明显的特征是乐曲开始处有一个长达10个小节的引子并且引子材料贯穿全曲；速度方面，庄板（Grave）速度的引子与很快并充满活力的快板（Allegro di molto e con brio）速度的呈示部形成强烈的对比，使其在音响上极具戏剧张力。以上这些特征在贝多芬的早期钢琴作品中绝无仅有，显示出他开始对奏鸣曲式附属部分的重视。除上述外在形式上的突破，贝多芬于该作品内在结构方面的突破主要表现在调性结构（即此曲的调性布局）上，他对调性结构的重新审视和独立思考，探索了钢琴奏鸣曲的新道路与新形式。

二、初始条件及其映射

1.动机——初始条件

乐曲开始，柱式和弦在fp的力度中打破沉寂，一个四分音符之后，附点节奏型在庄板的速度中如脚步一般缓缓向前迈进，如同徘徊中的人，每向前走两步又折回一步，犹豫不决；低声部与高声部反向进行，相互呼应；不稳定和声进行功能内部解决（小节后两拍的和声由c小调的重导七和弦解决到属三和弦）的烘托，使得音响、情绪极具张力。经过提取骨干音发现该曲的动机是由一个先上行三度再下行二度的三音组C-bE-D构成，它作为初始条件不仅映射了引子的旋律和调性，而且还映射了整部作品的调性布局，全曲在此基础上展开发展。见谱例1。

2.引子的調性布局——初始条件的映射

由于初始条件使然，引子中剩下的9个小节其骨干音均由初始条件映射而来。如果将每一小节看作一个单位结构，引子的第2小节在音高上与动机呈四度模进关系，是初始条件的上四度移位映射，而在第1-2小节之间有初始条件的倒影映射bE-D-F作为衔接；第3-4小节是前两小节高八度重复；从第4小节第三拍开始，引子的调性伴随一串下行的装饰性音阶从c小调转到其关系大调bE大调。由于调性转换，第5小节骨干音音高相较于初始条件则向上进行了三度移位，明确了bE大调调性。音乐在bE大调上进行两小节之后，于第六小节第三拍运用离调和弦转回主调c小调，直到引子结束。随后在7-9小节内出现的音组G-bB-bA，bA-C-bB和bB-D-C均产生于音组F-bA-G的上二度模进，这映射于初始条件中的二度关系，见谱例2。值得一提的是，第2、4和6小节中的音组F-bA-G共重复了三次，它们除了是初始条件的上四度映射外如此重复强调是否还有其他用意？

若把每一小节的起始音依次提取并排列，按音高关系对其进行归类可组成两个和弦，分别是c小调的主和弦与F大调的主和弦。由此发现，宏观上，引子的调性结构主要受c小调和F大调的支配，四度调性关系是初始条件上四度映射的选择；微观上，引子的调性共经过c小调-bE大调-d小调-c小调，在调性音高上完全映射了初始条件，这些都是初始条件对引子调性映射的结果。

三、全曲调性布局——局部与整体的自相似性

通常，典型奏鸣曲式三个主要部分的调性布局分别是：呈示部中，主部（主调）、连接部（调性过渡）、副部（属调）和结束部（属调）；展开部中，导入、中心展开（下属调）和属准备（属调或属和弦）；再现部中，主部、连接部、副部和结束部四个部分均回归主调。在这首作品中，贝多芬，在调性布局方面冲破常规，作了一些尝试与创新。

呈示部中，主部在c小调上进行；连接部调性经过了c小调-bA大调-bB大调，这是初始条件的倒影映射；副部由be小调开始，后依次转入bD大调、be小调，f小调，最后在第84小节处调性转入主调的关系大调bE大调，落于bE大调的属和弦；结束部在？E大调上进行，但结尾处（131-132小节）其调性却离调到主调的同主音大调C大调上，并半终止于C大调的属七和弦。呈示部反复一次后，其结束部末尾的调性又进入g小调，开放终止于g小调的属五六和弦（133-134小节）。

展开部中，导入部分的调性由g小调开始两小节后转入e小调；中心部分开始的调性继续沿用e小调，而后在G大调上短暂进行片刻后又进入c小调的下属大调F大调，然而和声并不明确。在161小节处调性又在f小调上进行四小节最后回到c小调，并伴随着主调的属持续音进入属准备；最后，主部主题再现。展开部中的中心展开部分的调性一般会在主调的下属系调上进行，但该曲却从主调的属系调e小调开始，尔后才进入下属系调F大调，F大调虽已出现但和声被模糊。紧接着出现的f小调虽然也属于主调下属系调，但它同时又与F大调是同主音大小调关系，在全曲多次出现（尤其是再现部），其地位甚至反超F大调，说明贝多芬此时对调性布局已只保留调性，不保留调式了。

再现部与呈示部最主要的区别就是各个部分的调性回归，尤其是副部调性要回归主调。在该首作品中其调性回归却有不同于以往的特点：主部在主调上再现但结构被缩减；连接部承接主调后又依次进行c-bD-be-f的上二度转调；副部调性以f小调开始，后转回主调；结束部调性在主调上进行两小节后又转入f小调，这样的调性交替共进行两次后音乐最终开放停留在c小调的重导七和弦。如果连同副部的调性转换一起计算，f小调到c小调的调性交替共计三次。尾声以c小调为主，但中间有向f小调离调。把奏鸣曲式中各部分出现的调性依次排列，可发现初始条件不仅完整或不完整的映射了全曲出现的主要调性，还使调性布局形成局部与整体的自相似性（见图1）。

综上所述，《悲怆》奏鸣曲虽然作为贝多芬的早期作品可能与他的其他钢琴作品有相似的地方，但“相似只是瞬间”（歌德），“模仿绝不能代替发展”，⑦贝多芬在该曲中对调性布局的重新审视，如呈示部中的副部调性延迟出现，结束部调性到达主调的重属方向，使整个呈示部调性隐含下属关系；再现部调性虽然回归主调，但出现主调和下属系调（副部）相互交替的现象，突破以往传统范式的调性安排并不是随心所欲，毫无章法的，作曲家通过初始条件及其映射，层层递进，使调性布局形成局部与整体上的高度统一，进而掌控全曲。

注释：

① ④《混沌学传奇》卢侃、孙建华编译 上海翻译出版公司1991年版（代序）

② 初始条件（initial condition）：在任何一段持续时间开始时刻系统的状态，这段时间的长短随研究者的目的而定。 《混沌的本质》（‘The Essence of Chaos）[美]E.N.洛伦兹著 刘式达、刘式适、严中伟译 周秀骥审校 气象出版社1997年版第200-204页

③ 自相似性”（self-similarity）： 点集的一种性质， 其中， 在一个尺度上的几何性质与另一个尺度上的相似。 《混沌学传奇》卢侃 孙建华编译 上海翻译出版社1991年版401页

⑤ 《混沌·分形与音乐——音乐作品的混沌本质与分形研究初探》姜万通著 上海音乐出版社2005版第80页

⑥ 映射：是指在音乐作品的发展过程中初始条件在时间与空间序列轨道上的投射，可分为完全映射与不完全映射。完全映射是对初始条件完整影像的完全或完整的投射，如严格的重复、倒影和逆行、扩大和紧缩等；不完全映射是对初始条件的部分投射，或在投射过程中发生折射、折叠现象，使初始条件的映射产生各种变化形式。《混沌·分形与音乐——音乐作品的混沌本质与分形研究初探》姜万通著 上海音乐出版社2005版第98页

⑦ 《自由作曲》[奥]申克著 陈世宾译 人民音乐出版社1997年版第5页

参考文献：

[1]卢侃，孙建华.混沌学传奇[M].上海翻译出版公司，1991.

[2]姜万通.混沌·分形与音乐——音乐作品的混沌本质与分形研究初探[M].上海音乐出版社，2005.

[3]【美】E.N.洛伦兹，刘式达，刘式适，严中偉，译，周秀骥，审校.《混沌的本质》（‘The Essence of Chaos）[M].气象出版社，1997.

[4]【奥】申克，陈世宾，译.由作曲[M].人民音乐出版社，1997.

[5]钱仁康，钱亦平.音乐作品分析教程[M].上海音乐出版社，2013.

[6]罗曼·罗兰.贝多芬传[M].人民音乐出版社，1978.

[7]于润洋.西方音乐通史（修订版）[M].上海音乐出版社，2009.