范方兵 王芝平

(1.北京市第二中学 100010 2.北京宏志中学 100013)

试题再现：已知抛物线C:y2=2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

这是2018年高考北京卷理科的第19题，在全卷中处于倒数第二题的位置，题目设计新颖，背景深刻，难度适中，以抛物线为载体考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查解析几何的坐标化思想、数形结合、化归转化思想以及数学运算、逻辑推理等核心素养，是一道值得细细品味的好题.现将本题的解答及分析过程整理如下，希望得到同行的指教.

1 试题解法变式研究

解(Ⅰ)由题意，C:y2=2px经过点P(1，2)，所以22=2p×1，所以2p=4，抛物线C:y2=4x.

图1

易知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1(k≠0)，与抛物线C:y2=4x联立得：

k2x2+(2k-4)x+1

=0，

由题意有，k≠0且Δ=16-16k>0，得k<1且k≠0.

如图1，PB与y轴有交点，故点B不能是点P(1，2)关于x轴的对称点(1，-2)，故k≠-3.

所以k的取值范围为

(-∞，-3)∪( -3，0)∪(0，1).

整理得ky2-4y+4=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

解法二设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)，

由Q,A,B三点共线知x1(y2-1)=x2(y1-1)，

整理得y1y2=y1+y2…(3)

由P,A,M三点共线知

(x1-1)(yM-2)=-(y1-2)，

整理得y1y2=y1+y2.

2 试题变式及探源

图2

图3

实际上，本文所探讨的题目以及猜想，与2008年高考安徽卷理科数学第22题有着内在联系，其几何背景涉及到高等几何中的极点、极线以及调和点列的知识，现逐步来进行说明(关于极点、极线的知识，限于篇幅暂不做深入探讨).

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

一方面，本文第二作者在文[1]对这道题目作了一般化的证明，并在此基础上进行了变式推广，使得结论更加丰富，内容更加精彩.文中得到了如下的命题及推论：

特别地，当直线l过直线AC与BD的交点，即P与Q重合时有如下的……