李昌成 杨军

(1.新疆乌鲁木齐市第八中学 830002；2.新疆师范大学数学科学学院 830054)

1 问题的提出

2017全国高考数学Ⅱ卷文科第21题第(Ⅱ)问(例1)是一道求参数取值范围问题：

例1设函数f(x)=(1-x2)ex.当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

求解例1的方法之一是“分离参数法”，但分离参数后求对应函数的最值时，运算非常复杂(有兴趣的读者可尝试之).而该高考试题所附参考答案的解法，不易理解掌握.同时所见一些解法仍未能体现其源流，故本文以2017全国高考数学Ⅱ卷文科第21题和2016年四川高考数学理科第21题第(Ⅱ)问为例，拟深入分析“当x∈(m,n)时，f(x)≤ax+b恒成立，求a的取值范围”这类试题的本质，并据此给出适于高中生认知水平的初等解法.

2 试题的本质分析

从几何意义看，要使x∈[0,+∞)，f(x)≤ax+1成立，只需当x∈[0,+∞)时，射线y=ax+1始终在函数f(x)=(1-x2)ex图象的上方(仅在端点x=0处重合，如图1).进一步发现，直线y=ax+1位于曲线f(x)的切线位置是f(x)≤ax+1成立的极限情形：即若射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置或其上方时，均有f(x)≤ax+1；若射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置下方时，f(x)≤ax+1不恒成立(图2).

之所以如此，关键原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函数(即曲线是凸的).如若不然，则不能保证“当射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置或其上方时，均有f(x)≤ax+1”.例如图3中的反例.

图1

图2

图3

至此，揭示了试题的本质：因为f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函数，故条件“x≥0时，f(x)≤ax+1”等价于“射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲线f(x)=(1-x2)ex在点x=0处的切线位置或其上方”.

一般地，若函数f(x)在x∈[m,n]上是凸函数，并且函数y=f(x)与y=ax+b在区间[m,n]左(或右)端点处的函数值相等，则“当x∈[m,n]时，f(x)≤ax+b成立”等价于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其上方”(图4).

同理，若函数f(x)在x∈[m,n]上是凹函数，并且函数y=f(x)与……