缪应铁

【摘 要】线性空间的定义是代数中一个较为抽象但又十分重要的概念，在认识代数关于空间上具有基础性的作用，而线性空间的定义中涉及代数运算与代数结构，本文从代数运算的角度给出线性空间的定义，并在此基础上引入平常意义上线性空间加法的定义，与通常意义上的加法做出区分。

【关键词】运算；代数运算；线性空间

现实世界的空间形式中表现为线性的有直线、平面。研究直线、平面的工具是向量。把线性空间又可称为向量空间，把线性空间的加法与纯量乘法称为线性运算。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构（由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统），以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。

例1.几何空间中的向量、n维向量、矩阵等例子有一个共同之处：就是一个集合，一个数域，两种运算加法和纯量乘法，再加8条运算法则。由此可以抽象出一个线性空间的定义。

例2.为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组（a■，a■，…，a■）作为元素的n维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：

（a■，a■，…，a■）+（b■，b■，…，b■）=（a■+b■，a■+b■，…，a■+b■）

k（a■，a■，…，a■）=（ka■，ka■，…，ka■）

从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。

研究线性空间，必须理解他的定义和简单性质，以及线性相关和线性无关，极大线性无关组和向量组的秩的定义和性质之后，就着重研究线性空间的结构，指出任一线性空间的结构由它的一个基所决定，而维数对于研究有限维线性空间的结构起着重要作用。……