符晓全

【摘 要】笔者根据自己多年的数学课堂教学经验，把常常会用到数形结合的几种题型进行归纳，以此抛砖引玉例谈数与形的相互作用及相互关系。

【关键词】数形结合；数与形；以形助数；以数辅形

一、以形助数问题

1.与不等式有关的问题

例1：若不等式|x-4|+|3-x|

这道题目是已知不等式的解集求未知的参数，是考查不等式解法的逆向运用，解这道题的一般思路是：先对a分类讨论：（1）a≤0时不等式的解集为空集，符合题意；（2）a>0时，先求不等式有解时a的取值范围：a>1，从而得当0

|x-4|+|x-3|表示数轴上的点x到3和到4的距离之和（图一），其最小值为1。即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+

|3-x|

后一种方法明显比前一种方法简单，清楚，运算量小，出错机会少。

例2：已知a，b，m∈（0，+∞），且a■。

分析：本题包含了多种的几何特征。

思路1：不等号两边是比值形式，可考虑直角坐标系下直线的斜率，再结合倾斜角，斜率的大小去证之。

思路2：根据三角形相似可得到比值关系，因此可以利用相似关系把欲证的式子两端转化为相似三角形对应边的比，再结合线段长度去证之。

证法一：如图二，设点A（b，a），点B（-m，-m）其中m>0，其中直线OA的倾斜角为α■，直线AB的倾斜角为α■

∵0

∴直线OA的斜率K■=tana■=■<1

直线AB的斜率K■=tana■=■<1

∵B在第三象限平分线上

∴AB必与x轴正半轴相交，且有0

∴tana■>tana■，即■>■

证法二：如图三，在Rt△ABC及Rt△ADF

中，AB=a，AC=b，BD=m

作CE∥BD交DF于E，由△ABC∽△ADF

∴■=■<■=■=■

例3：解不等式x+1-x-3>2

分析：此题若用分段讨论或用两边平方的方法来解，则过程复杂且容易出错。若把x视为复数，在复平面内利用几何意义来研究，则过程简化，方法较新颖。

解：在复平面内，满足条件z+1-z-3=2的复数z对应的点的轨迹是以（-1，0），（3，0）为焦点，以（1，0）点为中心且实轴长为2的双曲线的右半支（如图四），图象与x轴的交点为（2，0）。……