陈慧颖

通过阅读材料渗透新概念、新运算、新符号、新规定等知识，是近年中考的又一考题类型.结合已经学过的知识、掌握的技能进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移，就能很好地处理好它.因此在复习中应该重视培养阅读理解新知识并应用新知识解决问题的能力.把握“新定义”内涵，是解决此类问题的关键.

考点一：“运算型”新定义

例1 对于实数a、b，定义一种运算“?”为：a?b=a2+ab-2，有下列命题：

①1?3=2；

②方程x?1=0的根为：x1=-2，x2=1；

③不等式组

[-2?x-4<0，1?x-3<0]的解集为：-1

④点（[-12]，[52]）在函数y=x?（-1）的图像上.

其中正确的是（ ）.

A.①②③④ B.①③

C.①②③ D.③④

【分析】根据新定义得到：

1?3=12+1×3-2=2；

x?1=0可化为：x2+x-2=0；

[-2?x-4<0，1?x-3<0]实为[-2x-2<0，x-4<0，]解得

-1

y=x?（-1）=x2-x-2，然后把x=[-12]代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断.

解：1?3=12+1×3-2=2，所以①正确；

∵x?1=0，∴x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=1，所以②正确；

∵（-2）?x-4=4-2x-2-4=-2x-2，

1?x-3=1+x-2-3=x-4，

∴[-2x-2<0，x-4<0，]

解得-1

∵y=x?（-1）=x2-x-2，

∴当x=[-12]时，y=[14]+[12]-2=[-54]，

所以④错误.故选C.

【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式組的解法以及如何判断一个点是否在二次函数图像上等知识.

考点二：“规律型”新定义

例2 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22016的值.

解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①

将等式两边同时乘2得：

2S=2+22+23+24+25+…+22016+22017，②

②-①得2S-S=22017-1，

即S=22017-1.

∴1+2+22+23+24+…+22016=22017-1.

请你仿照此法计算：

（1）1+2+22+23+24+…+210；

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）.

【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，将两边同乘2后所得式子与所设式相减，即可求出所求式子的值.

（2）同样的方法，设S=1+3+32+33+34+…+3n，但两边同乘3.当底数为几时，所设式子两边就要同乘几.

解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，①

两边同时乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211，②

②-①得：2S-S=211-1，即S=211-1，

∴1+2+22+23+24+…+210=211-1；

（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，①

两边同乘3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，②

②-①得：3S-S=3n+1-1，

即S=[12]（3n+1-1），

∴1+3+32+33+34+…+3n=[12]（3n+1-1）.

【点评】各式中后一项与前一项的比值为一确定的数，这就是此类题目的特点.充分利用同底数幂的乘法法则是解本题的关键.

考点三：“阅读型”新定义

例3 我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被……