吴子生

【摘 要】本文主要研究函数的最值方法在不等式证明中的应用。结合不等式的不同特点，对不等式做恰当的变形，找出规律，构造不同的辅助函数，然后根据函数的单调性找出定义域上最大值或者最小值，便可以建立不等式关系，通过整理得到不等式结果。

【关键词】不等式；函数的极值；函数的最值；辅助函数

引言

不等式的证明不仅是高中数学非常重要的一部分内容，还是将来学习高等数学微积分的重要基础。所以我们有必要研究总结证明不等式的若干方法，从而使学习更具有系统性。本文介绍了不等式证明的八种方法，有比较好的参照性，但是由于高中阶段学生所学习的知识有限，文章所介绍的许多方法，例如微分中值定理方法、凹凸性方法和积分中值定理方法，并不能在高中教学中大力推广。文主要结合高中所学习的函数单调性来证明一些不等式。事实上，高中数学中函数的最值在不等式的证明中也有很好的作用，本文将利用函数的极值最值问题再结合函数单调性的相关结论来总结不等式证明的方法。

1.利用导数判定函数的极值

我们在讨论函数最值的时候，其实需要先找出函数的极值，下面先给出极值点与函数的导数的关系：

定理1 设函数f（x）在点定义域D上可导，x■∈D，则

（1）若x∈（x■-δ，x■）时f'（x）<0而x∈（x■，x■+δ）时，f'（x）>0，则f（x）在点x■取得极小值。

（2）若x∈（x■-δ，x■）时f'（x）>0，而x∈（x■，x■+δ）时，f'（x）<0则f（x）在点x■取得极大值。

结合上面的结论，如果定义域D为闭区间[a，b]。根据闭区间上连续函数的性质，f（x）存在最大值和最小值，这时如果最值点在开区间（a，b）内取得，则其一定是极值点，如果不在开区间（a，b）内取得，则一定在端点处取得。……