广东省华南师范大学数学科学学院(510631) 李仁旗

柯西不等式的解法研究不仅在高等数学中应用广泛,在中学数学竞赛题中也是时常出现.它的结构独特、对称而优美,学者和研究人员很喜欢使用它.在各种各样的竞赛试题中,如果能够灵活巧妙地使用柯西不等式,那么许多有关不等式的问题,看起来比较复杂,实际上可以迎刃而解.

笔者最近一直在学习和研究柯西不等式,偶然间发现本刊2017年第1期下半月版中《柯西不等式的多种变式及其应用》一文,文中例6的证明过程吸引了笔者的注意力.

(一)例题展示

该例题题目及证明过程如下:

例6 设0≤x≤13,求证:

证明令则a2=x+27,b2=13−x,c2=x,于是有a2+2b2+c2=x+27+2×(13−x)+x=53,原题目可以转化为“已知a2+2b2+c2=53,求a+b+c的最值”问题.构造系数因子有又因为a,b,c≥ 0,所以有a+b+c≤又因为所以有故成立.

(二)定理引入

在剖析本例的解题思路之前,我们先引入柯西不等式:

引理对任意的实数a1,a2,···,an及b1,b2,···,bn有

例6中应用到的是三元柯西不等式,即:对任意的实数a1,a2,a3及b1,b2,b3有(a1b1+a2b2+a3b3)2,其中等号当且仅当时成立,其中λ∈R.

(三)例题剖析

了解了柯西不等式的具体内容,我们再来分析一下例6的证明过程.

再来看

这一步,等号成立的条件是a=c=0,即同样矛盾.即不存在指定范围内x的值满足也就是说结论中的两个等号均不成立.

(四)例题改编

既然如此,笔者认为例6稍作更改可能更为妥当,例题改编如下:

例6 S求函数的最大值和最小值.

解由题知函数y的定义域为[0,13],因为

当x=0时等号成立,故y的最小值为又由柯西不等式得所以y≤11.由柯西不等……