江苏省扬州大学数学科学学院(225002) 刘铭鑫 濮安山

不等式问题作为高考的热点问题,信息少,难度高,如何在较短的时间内发现规律,从而找到合适的解法策略,一直是众多学生所追求的.从某市最近的几次模考中不难看出,大多数学生在解答有关齐次不等式求最值问题时,方法单一,思路欠缺,得分率较低.笔者通过对近几年齐次不等式解法的探究归纳,以此期望帮助学生对此类问题形成清晰的表象特征,丰富其解题策略,提高其综合解题能力.

策略一 因式分解与换元

例1 已知a,b∈R,满足a2−ab−2b2=1,求a2+b2的最小值____.

其中等号当且仅当

时取得.

分析对于给定的等式,我们要善于从中发现规律,以这种规律作为突破口,建构起解题思路.通过观察,等式的左边可以进行因式分解,并且两个因式的乘积为一个定值,联想到基本不等式中的和积互化,我们进行换元,并且可以将a2+b2反代换成关于x和y的一个表达式,进一步利用基本不等式,原式得到解决.

相关习题

习题1 (2018扬州市二模理科第12题)已知a,b∈R,a＞b,若2a2−ab−b2−4=0,则2a−b最小值为____.

习题2 已知x,y∈R,满足x2−xy+y2=1,求x2−y2的最值___.

策略二 均值缩放

例2 已知x＞0,y＞0,满足4x2−xy+y2=25,求3x2+y2的最大值___.

解由4x2−xy+y2=25得

分析我们知道,利用均值不等式是解决一类不等式的重要方法和途径,而均值不等式是关于所有变元的齐次不等式(整式不等式或等式的所有项的次数相等,或分式不等式的分子、分母所有项的次数都相等).[1]在此基础上观察条件和结论,发现前后所有变元的次数相等,可以进……