湖南省会同县第一中学(418300) 唐鹏久 于先金

题目(《不等式选讲》4-5人教B版第24页练习第3题)已知a,b,c是任意实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

这是一个关于a,b,c结构简洁、对称优美、应用广泛的经典不等式,探究这个不等式的证法是一件有意义的工作,并使我们体会到数学的简单美、对称美、和谐美和奇异美.

一、利用重要不等式,感受简单美

所谓简单美,是指一个复杂问题的简单解法.它是优化解题思路的内在驱动力因素之一.正如高斯对自己的工作的评价:“去寻求一种最简的证明,乃是吸引我去研究的主要动力.”也就是说,数学美是指追求最容易、最清楚而且更经济的方法来解题.数学美,美在简单、明了.

证法1 (巧妙配凑,简单明了)因为所以原不等式成立.

证法2 (柯西登场,良性互动)由柯西不等式,得

从而

所以原不等式成立.

证法3 (排序原理,意外惊喜)由对称性,不妨假设a≤b≤c,由排序不等式:“顺序和”≥“乱序和”,得

即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,故原不等式成立.

二、恒等变形,感受对称美

对称是最能给人以美感的一种形式.正如德国数学家、物理学家魏尔说:“美和对称紧密相关.”对称不外乎局部与局部的对称,几何图形与数学关系都存在这种对称.体现形结构与数(式)结构的对称是对称美,已知与结论的对称使解题者感到愉悦.本题中的条件和结论都关于a,b,c对称,由对称性启发,可得不同的证法.数学美,美在对称、整齐.

证法4 (作差配方,一目了然)因为

所以原不等式成立.

评注这种作差法,即作差—变形—定号的过程体现了……