杜国平

(中国社会科学院 哲学研究所， 北京 100732)

伯特兰悖论自提出以来，受到了人们广泛的关注。本文不拟对相关研究进行综述和评论，而只是从问题本身出发，使用逻辑方法来分析问题本身的推理结构，并对悖论问题产生的根源进行纯粹理论的阐述，以期澄清某些哲学论争。

一、伯特兰悖论概述

伯特兰悖论是由法国数学家约瑟·路易斯·弗朗索瓦·伯特兰(Joseph Louis François Bertrand)于1889年提出的一个概率悖论[1]。该悖论的基本结构是：

对于问题“圆内任意一条弦，其弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？”伯特兰给出了3个不一致的答案[2]。

第1种解答：考察从圆上任意一点A出发的那些弦(见图1)。以A为一个顶点作圆内接等边三角形ABC。如果弦的另一端落在∠DAB或者∠EAC的区域内(包括B、C两点)，如弦AA1，则弦长并非长于该圆内接等边三角形的边长；如果弦的另一端落在∠BAC的区域内(不包括B、C两点)，如弦AA2，则弦长长于该圆内接等边三角形的边长。反之亦然。因为△ABC是等边三角形，∠BAC等于60°，所以弦长长于该圆内接等边三角形边长的概率是：

伯特兰悖论的基本结构是：考虑弦长长于圆内接等边三角形边长的概率，根据无差别原则，分别得出了3个不同的结论，而这3个结论是不一致的。

图1

图2

图3

伯特兰悖论所直接拷问的是主观概率的合理性问题。具体地说，它拷问的是主观概率无差别原则的合理性。无差别原则(the principle of indifference)指的是：对于某一条件下的若干种可能性，如果没有证据证明其中的某一种可能性比其他的可能性更大或者更小，那么我们赋予这些可能性以相同的概率[3]。……