周作黎 谭超先 刘卫刚

摘要：电磁场经过不同电性界面边界条件，运用麦克斯韦方程组的积分形式可推导，这种方式的推导关于界面处源的问题有点模糊，不便于理解记忆。本文将通过电场的极化模型束缚电荷来对比分析界面处关于电荷积累的问题以及磁化模型束缚电流模型来分析界面处磁源的问题，从而对边界条件有更加清楚的认识。

关键词：边界条件；麦克斯韦方程组的积分形式；极化

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）23-0213-03

一、麦克斯韦方程组的积分形式及边界条件的推导

（一）麦克斯韦方程组的积分形式

E·dL=-·dS （1）

H·dL=∑（I+I） （2）

D·dS=q？摇 （3）

B·dS=0？摇 （4）

（二）边界条件的分析及推导

边界条件是指电磁场穿过不同电性界面应满足的关系式，可通过上述积分方程组推导得出，我们作简单推导，看（4）式，它表明磁场是无源场，在电性界面处取体积元圆柱体，运用（4）式，右边项为零，侧面积分在取极限时取为0，不难推出磁感应强度B垂直分量连续。对于电位移D垂直分量不连续，分析（3）式，并和（4）式相比，右边项多了累积电荷项，累积电荷是自由电荷，会对电位移失量D产生影响，导致D垂直分量不连续。关于切线方向E分连续及H分量连续，电流密度法向分量连续都可通过方程组推出。

二、电极化和磁化

（一）电极化、束缚电荷

电介质依据电结构不同，可把电介质分为两类：一类是无极分子，另一类是有极分子。将无极或有极电介质分子放在均匀外电场中，各分子的电偶极子受到外电场力偶的作用，都要转向外电场方向，并有序的排列起来，但由于分子热运动使这种排列不可能整齐。然而，从总体上看，这种排列的结果使电介质沿电场方向前后两个侧面分别出现正、负电荷。这种电荷不能在电介质内自由移动，也不能离开电介质表面，因而称为束缚电荷。

（二）磁化、束缚电流

磁化是指磁介质放在磁场中会产生附加磁场的现象，磁介质分为顺磁质、抗磁质和铁磁质物质，铁磁质磁化原理不同于顺磁质和抗磁质。物质内部原子、分子中每个电子都参与两种运动，可以看作圆形电流，具有一定的轨道磁矩Pm，同时电子本身固有自旋，有自旋磁矩。一个分子中所有电子的各种磁矩的总和构成这个分子固有磁矩，可以等效为一个圆形分子电流i产生的。研究表明，抗磁质分子在没有外磁场作用时固有磁矩为零，顺磁质由于分子热运动磁矩取向杂乱无章，宏观上不呈磁性。

三、边界条件的极化模型分析

（一）边界条件的极化模型分析

为了分析电场边界条件问题，我们依据电极化知识，建立如图1和图2电极化模型，该模型只能分析垂直方向的问题，关于切向方向，我们只做简单分析。电场和界面累积电荷都会产生束缚电荷，首先只考虑电场，我们构造电性界面S，界面两侧相对介电常数为 ε和ε，界面两侧自由电荷面密度为+σ0和-σ0的带电无限平板，设各界面由极化产生电荷密度分别为 -σ1、+σ1、-σ2、+σ2，两边介质中电场强度分别为E1和E2，电位移矢量为D1和D2。然后考虑累积电荷模型，其他条件不变，不考虑电场即两电板面电荷密度是未知的，设为σ3，设累积电荷产生的界面两边束缚电荷为-σ4、-σ5。

图1由于电板无限，可知介质内场均匀，过电介质1作圆柱高斯面，通过极板A外侧底面的电位移通量和圆筒侧面的电位移通量皆为0，因此通过所作高斯面的电位移通量就等于通过位于电介质1中圆柱底面的电位移D1的通量。根据高斯定理可得：

SD·dS=D1ΔS1=σ0ΔS1（1）

化简得D1=σ0（2）

由D=εE代入（2）式得E1== （3）

同上，通过电介质2作高斯面

D2=σ0（4）

E2==（5）

由图2可知，这种不对称的电极化稍微复杂，只有界面处存在电荷，电场强度受自由电荷与束缚电荷的影响，电极化对电场强度的影响就相当于在界面电荷和在真空产生的电场，也就是电通量的高斯定理，所以界面两边电场强度大小相同，方向相反。

E1=-E2（6）

由D=εE代入（6）式可得

D1=ε0εE1（7）

D2=ε0εE2（8）

在界面处作高斯面，依据高斯定理得

SD·dS=（D1-D2）ΔS1=σ3ΔS1（9）

将（6）式、（7）式及（8）式代入（9）得

E1=-E2=（10）

D1= （11）

D2=（12）

依據σ'=1-σ0 （13）

σ4=（14）

σ5=（15）

这两个模型通过叠加能较为详细的解释电位移矢量垂直分量的不连续以及计算电场与电位移矢量垂直分量之间明确的关系。

（二）边界条件磁化模型分析

为了直观的理解不同电性界面磁感应强度垂直分量连续以及对磁场无源性质做进一步解释，我们建立如图3的磁化模型，首先构造分界面S，界面两边电性参数分别为μεσ和μεσ，我们考虑无限长螺旋环，线圈中通有电流I，在两界面产生束缚电流分别为I和I，设两边磁感应强度分别为B1和B2。

和电极化一样，我们同样可以将得到的磁感应强度分为两部分即：B=μH+μM（1）

M为磁极化失量，本质上就是束缚电流在真空产生的磁场强度，可得：B=μH+μI （2）

我们知道传导电流产生的磁场是无源场，实际上电流产生的磁场都是无源的，束缚电流也一样，无源场就是说在空间不会产生像电荷一样产生有一点发散的场，也就是在界面处磁感应强度不会发生突变，由（2）式，前部分为定值，后部分为空间连续值，所以磁感应强度垂直分量连续。直观可以理解为两界面束缚电流在界面处共同产生影响，因而界面处垂直分量连续。

四、总结

本文主要介绍了麦克斯韦理论，推导了电磁场穿过不同电性界面的边界条件，还介绍了极化相关的知识，利用极化知识建立适当的模型，分析了垂直方向上的边界条件，能直观理解边界条件的连续问题，对比分析自由电荷与束缚电荷及束缚电流对场的影响，进一步讨论电荷及电流产生场的有关源的问题。

参考文献：

[1]纳比吉安.电磁法[M].赵经详，王艳军，等，译校.北京：地质出版社，1992.

[2]吴百诗.大学物理下册[M].西安交通大学出版社，2011.

[3]谢树艺.失量分析与场论[M].北京：高等教育出版社，2012.