江俊霖

【摘 要】基于立体几何在高中数学中占据的重要地位，结合自身体会和感悟，提出建立辅助图形，简化原命题；注重图形变换，巧妙使用运动观点；采用设而不解的方法简化计算过程；避免思维定式，运用多种解题方法，四种解题技巧，以达到提高立体几何解题效率，保证准确度的根本目的。

【关键词】高中数学 立体几何 解题技巧

高中数学立体几何在培养我们空间想象能力、加强运算能力、促进思维发散等方面具有重要的意义，始终是高考数学的重点，难度相对较大。掌握知识的目的在于解决问题，学习实际上是在为解题做铺垫，而练习则是摸索解题技巧的过程。对于立体几何这种复杂的空间数学问题，尽可能多的掌握和熟练运用解题技巧是极为重要的。

一、建立辅助图形，简化原命题

通过对辅助图形的建立，能实现原命题的简化或特殊化，该方法在解立体几何题时十分常用。它将立体几何命题特点作为基础，建立一个和命题一一对应的辅助模型，使复杂的问题变简，使模糊或隐藏的条件变得显而易见，从而提高的解题的效率与准确度。

例如：矩形ABCD，线段PD和平面ABCD垂直，AB长为1，BC、PC均为2，折叠后，EF与DC平行。其中，E是线段PD上的点，F是线段PC上的点，折叠后P落于AD上，落点为M，且线段MF和CF垂直。

（1）证明线段CF和平面MDF的位置关系为垂直；

（2）求M-CDF体积大小。

解：基于面面垂直定理，从线段PD和平面ABCD垂直的已知条件可得线段MD和CF垂直，基于此，再根据线线垂直定理可得线段CD和平面MDF垂直；对于“求M-CDF体积大小”问题，结合现有的已知条件与辅助图形的建立，可得：线段MD为61/2/2，则三角形CDB的面积为31/2/8，所以M-CDF的體积为21/2/16。

在一类立体几何问题的求解过程中合理使用建立辅助图形等方法，使题目变得简化，除了能加快解题的速度，还能形成良好的逻辑思考能力，为相似问题的求解提供途径。

二、注重图形变换，巧妙使用运动观点

在求解立体几何的最值及范围等相关问题时，若能注重图形变化，桥面使用远动的观点对问题进行剖析和解答，则可以快速、准确的得出答案。

例如：ABC-A1B1C1是一个直三棱柱（图1），其底面ABC为直角三角形，∠ABC是直角为90°，线段BC和CC1相等均为21/2，线段AC为6，P是线段BC1上不断移动的点，则CP+PA1的最小值为？

这是一道较为新颖的立体几何问题，考察的是一个持续运动的点构成的距离最小值，虽然这一问题较为复杂，但是可以通过图形变换来进行处理，将立体的图形变成更直观、简单的平面图形。

解：连接A1、B两点，沿线段BC1将三角形CBC1展开至三角形A1B1C1所在平面。连接A1、C两点，此时可以发现，问题所求的CP+PA1最小值实际上就是线段A1C长度。根据题目已知条件经计算可得：∠A1C1C为90°，且∠BC1C为45°，则∠A1C1C为90°+45°=135°，根据余弦定理可得线段A1C长度为5·21/2，则问题所求CP+PA1的最小值为5·21/2。

由此可见，在求解立体几何问题，尤其是求最值及范围等问题时，可采用图形变换的方法，不要拘泥于原图，尝试从图上下手找突破口，勤于转换思路，以此对点位移动等复杂的问题进行简化处理，从而更好的解决此类问题。

三、采用设而不解的方法简化计算过程

设而不解是指将题目的已知条件作为支撑，结合提出的问题，设一个未知数，明确该未知数和已知条件之间保持的相互关系，然后罗列总结可解决问题的所有方法，但直到本题目求解完毕，都不对这一未知数进行求解。这种方法适用于那些看似已知条件不足的立体几何题型，通过对这一方法的使用，设定参数，建立待解问题和各项已知条件间保持的相互关系，并巧妙的避开那些不求解的部分，剔除参数，最终快速准确的给出答案。

例如：S-ABCD是一个正四棱锥，在此正四棱锥中和地面平行的位置截一平面A1B1C1D1，构成S-A1B1C1D1多面体，设上、下两面面积为Q1和Q2，侧面积为P，则多面体S-A1B1C1D1的对角面面积为？

解：从题目的已知条件中可以看出，多面体S-A1B1C1D1的对角面实际上是一个等腰三角形，上底与下底的长均能根据已知条件得出，则高则是多面体S-A1B1C1D1的高。若直接计算，不仅过程复杂，容易出错，而且已知条件并不全。所以可采用设而不解的方法，具体为：设题目所求问题，即多面体S-A1B1C1D1的对角面面积为S，多面体S-A1B1C1D1的上边长为a，下边长为b，高为h，斜高为h，则有：

S=（21/2a+21/2b）h/2=21/2/2（a+b）{h2-[（b-a）/2]2}=21/2/4（a+b）[4h2-（b-a）2]=21/2/4{[2h（a+b）]2-（b2-a2）2}=21/2/4[P2-（Q2-Q1）2]

由此可得，多面体S-A1B1C1D1的对角面面积为21/2/4[P2-（Q2-Q1）2]。

四、避免思维定式，运用多种解题方法

一个立体几何问题可能涉及很多知识，同样的，解决一个问题还可能用到很多种解题方法，甚至思维也为因为题目的问题而发生转变。此时，就要避免思维定式，灵活运用不同的解题方法。

例如，ABCD-A1B1C1D1是一个正方体（图2），其棱长为3，E是线段AA1上的一个点，线段A1E长为1，F是平面A1BD上一个自由移动的点，则AF-FE最小值为？

解：现采用建立辅助图形的方法，建立平面D1B1C，建立图形后可发现平面A1BD和CB1D1平行，对线段AC1和平面CB1D1进行连接，交点为F，则因线段GE和A1C1，所以AF-FE最小值就是GE长度，则有：GE=2A1C1/=2·21/2。

五、结语

综上所述，立体几何作为高中数学重要内容，其知识具有抽象、复杂的特点，而且具体问题普遍需要进行大量计算，对空间想象能力和逻辑推理能力都有很高要求。掌握正确的解题技巧是解决立体几何问题的关键所在，这除了要掌握所有基础知识，还需要通过大量的练习加以总结，并且要具备在解决问题时灵活运用的能力。

参考文献

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