黄婷婷 （江苏海安县海陵中学）

由于知识积累等多方面的影响，不同的人看同一个问题角度出现不同，形成自身独有的模式。当教师在传授该知识时，必然是在自己的积累基础上进行的，按照自己的认识传授，等于将自己的模式放到学生身上。但是由于接受对象不同，他们对于教师的知识传授理解就不同，同一节课，同样的讲解，学生的学习效果不一。不少人都在努力解决这样一个问题：如何让知识的传授效果达到最佳，让学生更好地完成学习。作为从教多年的数学教师，笔者在执教过程中留意学生的解答思路，力求通过对解答思路的分析，促进学生的学习，优化教学效果。

最近笔者的一次关于矩阵性质学习的课堂上，针对一道证明题，不同的学生给出了不同的解答思路。

一、案例呈现

如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点，CE＝CA，F为AE中点，求证：BF⊥FD。

二、思路展示

思路1：连接BD与AC相交于O点，连接OF，由平行四边形两条对角线互相平分这条性质出发，由三角形两边中点所连成的线平行且等于第三边的一半，可得在△BFD中，FO=BD，且由于O为BD的中点，所以BO=DO=FO，在两个等腰三角形△BFO和△OFD中，由角之间的关系可得∠BFD=90°。

分析：证明垂直，不少学生的第一反应就是计算角的度数，如果角是90°，在平面几何中就能确定垂直关系。而辅助线是几何证明中非常重要的解决思路。思路1通过辅助线构成了一个直角三角形与两个等腰三角形，充分利用三角形与特殊四边形的性质完成了命题的证明，所涉及的知识点既能承接上一节所学习的三角形的中位线的知识点，且又能巩固运用“矩形的性质1”中矩形对角线相等且互相平分这一知识点，最后拓展延伸到本节课所学习的直角三角形一个性质的逆定理，解题思路很完美。但是笔者发现，这道证明题存在其他思路。

思路2：在八年级上学期，学生刚刚学习并熟练掌握了三角形的全等，遇到与角相关问题时，不少同学首先想到的是在图中寻找全等三角形，由已知条件CE＝CA，F为AE中点可知∠FAC=90°，而要证明为90°角的∠BFD与∠FAC有公共角∠DFC，本题的重点就转换为由已知条件求证∠DFA=∠CFB，由已知矩形ABCD，则容易由矩形的性质知AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°以及在Rt△ABE中F为AE中点，可根据直角三角形的一个性质可知BF=AF=EF，∠FAB=∠FBA，这就把问题转换为证△AFD≌△BFC，最终完成证明。

分析：因为刚刚进行了全等三角形的学习，学生在解题时自然联系上去。学生发现，当题目给予边之间的关系，而需要找角之间的联系时，通常运用等腰三角形，全等等知识点比较有效。尤其是刚刚完成对三角形各类性质的学习，学生的印象比较深，能熟练运用。正好本题存在全等三角形，通过补充直角三角形的一个性质，和矩形的性质，最终能得到要证明的结论。与思路1比较，没有了辅助线的困扰，更为简便。而且不少学生在面对证明题时，都有不画辅助线的习惯。当然，在证明过程中，辅助线有时候能够让证明更加简便。思路3就体现了这一点。

思路3：连接BD，构成△BFD。先把∠DFB放到△BFD中，再由已知条件找出和△BFD全等的三角形AFC，结合矩形的对角线性质，通过证明，找到一个直角三角形与目标全等，从而完成证明。

分析：解法3相比较解法2而言，直接构造全等三角形，既能减少因角之间转换太多导致的失误，又在证明三角形全等时，对以往学习内容再次巩固，解答过程简单直接。

三、教学思考

三种解题思路角度不同，运用的知识点也不尽相同。不同的思路反映了学生对知识点掌握的程度与看待问题的角度以及解决问题的习惯。在学习的过程中，正是因为有了这些不同，学习的效果出现了差别。

同一证明题的三种思路，思路1反映了该生能熟练运用三角形的中位线，并且掌握了直角三角形一个性质的逆定理；思路2与思路3反映了学生对于全等三角形的知识能够熟练掌握。思路2与思路1的共同点在于这两名学生思考问题的出发点是“就事论事”，要证明垂直，就算出目标是一个直角，在证明过程中，学生的思路清晰，过程严谨。思路3体现出学生的创造性更强，善用巧力。

对于上述三类学生，在教学的过程中既要鼓励他们多积累、多思考、多归纳一些结论与基本模型，拓展自己的知识面与解题思路，更需要体现差异化。例如，第一类学生的三角形中位线掌握较好，在此基础上可对例如全等三角形等知识强化；第二类学生可以适当锻炼他们的整体思维，增强对辅助线的运用；第三类学生可以锻炼他们发散思维，多个角度解决问题。

作为一名一线教师，要时刻留意学生的学习动态，经常分析学生的学业水平与学习特点；针对不同的学生，采取与之对应的教学内容与教学方法，力求做到因材施教，实现教学效果最佳。

[1]孟晓东．从原点到远点——守望在生长教育的田野[M]．南京：江苏教育出版社，2016．

[2]林松．习题教学：入乎其内，出乎其外[J]．中学数学教学参考（中旬），2016（1-2）．