丁坚锋

[摘 要] 几何动态中的最值问题是初中生较难解决的一类问题，本文通过对一道试题多种解法的探究，让学生从多个角度去认识问题，洞悉问题的本质，使学生突破思维障碍，开阔思路，激发学习数学的兴趣.

[关键词] 几何动态；最值；解法探究

试题呈现

（2016年江阴市某校月考卷第18题）如图，Rt△ABC中，AB=AC=4，D为BC中点，E是线段AD上任意一点，将线段EC绕着点E顺时针方向旋转90°，得到线段EF，连接DF，则DF的最小值是______.

解法探究

1. 利用旋转找相似关系

解法1：如图2，连接CF，BF，延长BF、AD交于点G.

因为线段EC绕着点E顺时针方向旋转90°后得到线段EF，所以∠ECF=∠EFC=45°.

由Rt△ABC中AB=AC=4，得∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ACE=∠BCF.

又因为，所以△BCF∽△ACE，则∠CBF=∠CAE=45°.

当点E运动至点A，点F与点B重合；当点E运动至点D，点F与点G重合，所以点F在线段BG上运动.

根据垂线段最短知，当DF⊥BG时，DF的值最小，易求得最小值为2.

2. 利用旋转找全等关系

解法2：如图3，延长AD至点H，使DH=CD，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G.

易证△CDE≌△EGF，则FG=ED，EG=CD=DH，所以GH=DE=FG，故∠FHG=45°.

所以点F在线段BH上运动. （下同解法1）

解法3：如图4，过点E作AC的垂线交AC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，连接BH.

易证△CGE≌△EHF，则EH=CG. 由∠GAE=∠AEG=45°得EG=AG，所以HG=AC=AB.

又因为AB∥HG，所以可得四边形ABHG是矩形，则有∠ABH=∠BHG=90°，故B，H，F共线，∠CBF=45°. （下同解法1）

解法4：如图5，在CD上截取DG=DE，延长AD至点H，使DH=CD，连接EG，FH.

易证△CDE≌△HDG，则HG=CE=EF，∠DHG=∠DCE=∠FEH，所以EF∥HG，所以四边形EFHG是平行四边形，因而FH∥EG，故∠EHF=∠GED=45°. （下同解法1）

3. 利用函数描述点的运动轨迹

解法5：如图6，以BC所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG.

设F（x，y），则DE=FG=-x，DG=-y，又DG=EG-DE=CD-DE=2+x，所以-y=2+x，即y=-x-2.所以点F在线段y=-x-2（-2≤x≤0）上运动. （下同解法1）

4. 利用轴对称寻找数量关系

解法6：如图7，连接BE，BF.

设∠DCE=α，∠ACE=β，由轴对称性知∠EBC=α，∠ABE=β，则∠BEC=90°+2β，∠BEF=∠BEC-∠CEF=2β，∠EBF=90°-β，所以∠DBF=∠EBF-∠DBE=90°-β-α=45°. （下同解法1）

5. 构建函数求最值

解法7：如图8，过点F作FG⊥AD，交AD延长线于点G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG.

设FG=x，则ED=x，DG=2-x，由FD2=FG2+DG2得FD2=2（x-）2+4，当x=时，FD的最小值为2.

评注 笔者将此题作为课外作业让学生去完成，在学生的解法中出现了解法1、6、7，但用这三种方法解答的学生不多.有些学生是用画图的方法去猜点F的运动路径. 可能是填空题的原因，不少学生没有用合情推理或演绎推理的方法去认真思考和分析.

思考

1. 对问题的再思考

与此题类似的试题还有很多，如2012年北京卷第24题：在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图9），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图10中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）略.

这题可以看作是将上题中的90°角作一般化处理，但保留了图形中的数量关系.不难发现当α确定，点P在运动过程中，点Q始终在一条直线上运动.

笔者通过对比，发现其中隐藏着一个本质的东西，从中提炼出一个数学模型：如图11，点P是线段AB的垂直平分线CD上的一个动点，连接BP，将BP绕点P顺时针旋转α，则点Q一定是在经过点A的直线上运动，若点Q在直线AB下方，则∠BAQ=α；若点Q在直线AB上方，则∠BAQ=180°-α.

如图12，连接AP，AQ，结合三角形内角和性质不难证明结论.如果我们重新回到已知，换个角度看问题，就会柳暗花明又一村. 如图13、14，点A，B，Q到点P的距离相等，所以这三个点在同一个圆上，点P是圆心. 由圆周角的性质分别可以得出∠BAQ=∠BPQ=α和∠BAQ=（360°-∠BPQ）=180°-α，故点Q一定是在经过点A的直线上运动.这两种方法具有一般性.

在教学过程中，教师可以引导学生通过试题的特征分析、对比、归类，将所学的内容整理归纳出类型和方法，经过加工提炼出有指导价值与典型结构的数学模型，培养学生模型识别能力，让学生积累良好的数学学习经验.

2. 对解法的再思考

波利亚在《怎样解题》一书中提到“寻找与你过去所获知识之间的联系，试着想想过去在类似情况下是什么帮助了你.试着在你考察的过程中认出一些你熟悉的东西，试着在你认清的东西中发现一些有用的东西.”这段话告诉我们如何寻求有用的解题思路.用框图表示，如图15.

例如问题中要求DF的最小值，就要思考点F的运动路径是什么，或者DF的数量与什么有关，这个相关性可否用函数表示；经历对已知条件的分析可以联系到轴对称和旋转知识，联想常见的旋转构造全等和相似的方法，以及相关的基本图形，如“一线三等角”模型.

此题信息丰富，在进行信息加工和整合过程中，要收集有益的信息，与要解决的问题进行关联比对，甄别出有效的解题途径.同时，还要特别注意关键性的信息，如图形的轴对称性和旋转的性质.

3. 对解题教学的再思考

《义务教育数学课程标准》（2011版）中提出了10个数学核心素养，核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能. 核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性的特征.数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，故教师要思考如何通过教材与教学，落实发展学生的数学核心素养，在对数学本质理解的基础上，注重数学学科对学生的思维以及对其认识问题、解决问题思想方法上的影响.

解题训练是提高学生思维能力，落实数学素养，形成数学智慧的主要途經.史宁中教授认为，教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧.因此解题教学应重视如何分析条件、处理信息、整合信息的教学，引导学生找到问题的本质，发现解题的捷径.

一题多解作为一种有效的思维训练方法，教师在进行教学时，要适时适量，要以揭示多解背后隐藏的数学思想和方法为侧重点，让学生在解题过程中经历理解、内化、领悟的过程，逐步将数学活动经验具象化，并形成思维方式.