广东省广州市番禺区实验中学

潘神龙 (邮编：511400)

函数不等式是高考数学中的一类重要题型，具有综合性强、解法灵活多变的特点，通常是高考的压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.在以往的教学中，我们强调通性通法,通过强化解题过程的规范性，让学生更多的拿过程分．其实，对函数不等式的处理可以仿照选择题的解法，从已有条件入手，充分挖掘隐含信息，从而起到事半功倍的效果．本文重点对“函数不等式中求参数的取值范围”这一类题目的解法进行探究.

1 解法探究

解(I) 、(II) 略．

(III)解法一当k≥1时，由(II)，不存在x0满足题意.

当x∈(1,x2)时，F′(x)>0,F(x)单调递增,F(x)>F(1)=0．综上，k的取值范围是(-∞,1)．

解(I) 、(II)略.

注意到F(0)=0,要使得F(x)>0对x∈(0,1)恒成立，则需存在h∈(0,1)，使得F′x>0对x∈(0,h)恒成立.否则，F′x≤0对x∈(0,1)恒成立，F(x)单调递减，F(x)

例3(2012年高考天津卷·理20)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0．(I)求a的值；(II)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值；(III)略．

解(I) 略．

(II)解法一由(I),a=1．

当k≤0时，有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合题意．

．

2 深入思考

以上三例都是首先构造函数Fx,解法一是从F′x=0的根入手，对k的取值范围进行分类讨论；解法二是把Fx>0的恒成立问题转化成F′x>0的恒成立问题，把解法二进行推广，可得如下定理.

定理1假设F(x)>0(F(x)≥0)在(a,b)上恒成立，F(a)=0,则存在h∈(0,b-a],使得F′(x)>0(F′(x)≥0)在(a,a+h)上恒成立．此时有F′(a)≥0．

证明假设任意的h∈(0,b-a],都有F′(x)≤0,则F(x)在(a,b)上单调递减(或者有部分为常值函数)，对任意的x∈(a,b),有Fx≤F(0)=0,矛盾.再根据导函数的介值性定理，可知F′(a)≥0.

定理2假设F′x在(a,b)上单调递增，F(a)=0,那么F(x)>0(F(x)≥0)在(a,b)上恒成立⟺F′(x)>0(F′(x)≥0)在(a,b)上恒成立．此时有F′(a)≥0．

证明由定理1，存在h∈(0,b-a],使得F′(x)>0在(a,a+h)上恒成立．又因为F′x在(a,b)上单调递增，所以F′(x)>0在(a,b)上恒成立．

因为F′(x)>0,所以F……