浙江省宁波中学

傅 婷 (邮编：638400)

笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前，笔者的学生问了这样一个问题：已知一个抛物线型的酒杯，杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中，当玻璃球的半径在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？笔者在给学生解答的过程中，发现这个酒杯中的数学与2016年浙江高考理科数学试卷第19题其实是同一类型的问题.遂选择了这个题目进行说题，题目如下：

(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；

(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

1 解法分析

考点弦长公式;圆与椭圆的位置关系;椭圆的离心率

几何条件含参圆与椭圆至多有三个交点;离心率范围

目标动态圆锥曲线交点问题的转化

.

第(II)题：考查的是双二次曲线的交点问题，本题中有动态和恒成立两个难点，故问题的解决关键在于交点问题的转化.

视角一代数视角

由于圆锥曲线的交点个数可以转化为方程有解问题，便有解法1.

解法1方程在区间上根的分布问题

(a2-1)y2+2y+r2-1-a2=0

(*)

先考虑有四个交点情况，则需要方程(*)在(-1,1)上有两不同根，由

知识圆与椭圆的对称性、根的分布问题

策略正难则反

思想方程思想

方程的有解问题可以转化为函数的交点问题，故有解法2.

解法2函数在区间上的交点个数

(1-a2)y2-2y+1+a2=r2.

当a2>2时，圆与椭圆有4个不同的公共点.

思想函数与方程思想、数形结合思想

视角二几何视角

椭圆具有对称性，……