陈汉鸿

【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）22-0129-02

在高中数学中，离心率是描述圆锥曲线性质的一个重要概念，是圆锥曲线的一个重要属性。在椭圆或双曲线中，离心率的定义为。我们经常会碰到离心率的问题，例如在全国高考新课标I卷中，2010文理、2011理、2012理、2013理、2014文、2016文等高考试卷中都有考查。因此，离心率探秘就是一个重要的课题，值得我们教师认真研究，这对于提高教师的教学业务素质、提升教学质量大有裨益。下面就让我们来揭开离心率的神秘面纱。椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线板块的一个重要问题。而离心率的求法又包括求值与求范围两种类型。笔者经过多年的教学实践，终于摸索出一套行之有效的方法，下面是笔者的体会：

一、求离心率的值

1.定义法：利用离心率的定义来求

例1、双曲线的离心率为_______.

解析：因为，所以，所以离心率

已知方程求离心率是最基础的问题，有时已知了一个含有a，b，c的等式，要求離心率，此时就要利用a，b，c之间的关系，把b转化为a，c，再求离心率。

请看一简例：已知在椭圆中，a=2b，求此椭圆的离心率e。

解析：，

所以。比之更复杂的情况是，既无法求出a，c，也没有直接给出含a，b，c的等式关系，这时我们就要根据题意寻找含有a，b或c的等式关系，我们可以从以下两方面进行寻找：即坐标法和几何法。

2.坐标法：坐标法就是先求出曲线上的一个点的坐标（坐标中可含有a，b，c），然后再代入曲线方程，从而得出一个含有a，b，c的等式，离心率可解。

例2.（2016年福建省质检理数）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）

解析：由题意可得曲线有一点为（），代入，可得答案为，故选D。

例3.（2010全国新课标I文理）如图1，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为__________.

【解析】设椭圆方程为（a>0，b>0），

如图1过D作轴与E，则由与相似可得D点坐标为（）代入椭圆方程得，所以

3.几何法：几何法就是利用三角形或曲线的性质得出关于a、b、c的一个等式，再转化为关于e的方程求解.

经常用到的结论有：勾股定理、等边对等角、锐角三角函数，等腰三角形的性质、等边三角的性质、正弦定理、余弦定理、椭圆的定义、双曲线的定义等。

例4、（2013全国新课标I卷）、设椭圆（a>0，b>0）的左、右焦点分别为，P是C上的点，，，则C的离心率为（ ）

解：因为，所以

.

又，所以，选D.

二、求离心率的取值范围

这类问题比第一类问题难些，求解此类问题关键是：找出关于a、b、c的一个不等式，从而求出离心率e的取值范围。关键是挖掘题目中的隐含条件，构造不等式。常见的隐含条件如下：

1.利用曲线的范围，建立不等关系

如椭圆（a>b>0）的范围是：；

如双曲线（a>0，b>0）的范围是：；

例5.设椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

解析1：设P（x，y），则，所以.（1）

因为，所以

所以，化简得.（2）

联立（1）（2）两式得，因为，所以，所以，所以从而

2.利用渐近线的特征，建立不等关系

例6.一条斜率为2直线经过双曲线（a>0，b>0）的右焦点F，若直线与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率e的取值范围。

解：双曲线的渐近线方程为，

若，则直线与双曲线只有一个交点；

若，则直线与双曲线的两交点均在右支上，

3.利用三角形的性质，建立不等关系

三角形中有很多不等关系，如两边之和大于第3边，两边之差小于第3边，大边对大角等。我们可以用这些来建立不等关系。

例7.设点P在双曲线的右支上，双曲线（a>0，b>0）两焦点分别为，，求双曲线离心率e的取值范围。（图2）

解析：如图2，由双曲线的定义可得：，（1）

又（2），所以

由三角形性质：两边之和大于第3边即：

得：

解得：。

4.利用焦半径的长度范围，建立不等关系

连接圆锥曲线上的点与焦点的线段，称为焦半径。焦半径有一个长度范围。

在椭圆中，焦半径长度[a-c，a+c]

在双曲线中，焦半径长度[c-a，）

例8.（题目同例7，图2）

解：由双曲线的定义得：

再由：得：

因为：，所以：，

所以：

5.利用判别式，建立不等关系

例9.设双曲线与直线相交于不同的点A、B，求双曲线的离心率e的取值范围。

解：联立方程得

所以：，所：以 且

，所以：

6.利用平方数的非负性，建立不等关系

一般地， 。

例10如图3，已知过双曲线左焦点的直线L交双曲线于P、Q两点，且（O为原点），求双曲线离心率e的取值范围。

解析：设，

设直线L的方程为：，代入得：

，

所以：，

所以：

因为：，所以：，即：

，

解得：，因为：，所以：，则：，所以：。

综上所述，求离心率的范围的关键是挖掘各种隐含条件，如椭圆和双曲线的范围、双曲线的渐近线的图像特征、三角形的两边之和大于第三边、大边对大角、焦半径的长度范围、方程组有两个解的条件即判别式大于零、一个平方数的非负性等，利用这些不等关系，建立一个含有a，b或c的不等式，然后把b转化为a，c，最后把含有a，c的齐次式化为关于e的不等式，解这个不等式再结合椭圆、双曲线的离心率的固有范围，就能求出e的取值范围。

实际上，求离心率的值，是寻找a，b，c间的等量关系；而求离心率的取值范围，是寻找a，b，c间的不等关系；总之，离心率探秘就是寻找含有a，b或c的等量关系或不等关系。要解离心率之谜，除了要掌握三角形、四边形等平面图形的性质和有关定理、椭圆与双曲线的图像与简单几何性质外，还需要具有较强的化归与转化能力、运算求解能力。