【摘要】函数是中学数学的重点和难点，对整个数学课程学习来说影响深远。利用数形结合思想学习函数时可以达到既直观又方便的效果，从而增强学生对函数知识的理解以及图形思维和逻辑思维的能力。本文首先阐述了数形结合思想在中学数学中的背景与意义，然后通过解题实例，对数形结合思想在中学数学函数中的应用进行了探讨，希望可以为学生以后分析问题提供新的思路。

【关键词】数形结合 中学数学 函数 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）24-0127-02

数形结合思想是一种综合运用的思维方式，是沟通数字和图形内在联系的重要桥梁。我国著名数学家华罗庚曾写过一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。”生动地揭示了数形结合的本质。通过转换和分类等数形结合的方式来分析函数问题时，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到既直观又方便的效果，从而增强学生对函数知识的理解以及图形思维和逻辑思维的能力。

一、数形结合思想在中学数学中的背景与意义

根据对江西省高考理科数学卷的统计，2015年与数形结合相关的题目有10个、总计63分，占比41%；2015年有10个、总计61分，占比40%；2016年为9个、总计58分、占比39%，从这些数据不难看出数形结合在历年高考中都是重点考察的对象，在中学数学中具有重要的地位。数形结合思想对数学学习的具体好处表现在以下四个方面：其一，能够更好地帮助学生理解与记忆基础理论性知识。其二，可以培养学生的数学直觉思维能力，加快解题速度。其三，有助于培养学生的发散性思维，从而增强其解题的应变能力。其四，有利于培养学生的创造性思维，更好地挖掘自身潜质。因此，数形结合思想是学习中学数学函数的不可或缺的重要方法。

二、数形结合思想在函数中的应用

函数的图像是函数关系的一种表示，它能够直观地揭示函数的性质，凭借形状来描述函数的变化规律。其实函数的图像与解析式在本质上是相同的，在解决问题时应当学会互相转化，特别是在解答比较复杂的题型时应充分利用函数图像的直观性。

（一）数形结合思想在解函数定义域问题中的应用

例1 求函数y=的定义域

解：要求得该函数的定义域，需满足，解答这类不等式的解集问题，可以根据不等式画出图形，如下图所示：

观察上图可以发现，要满足x2-3x+2≥0，只需x≤1，或x≥2，再由x≠0，就可以求出定义域为（-∞，0）∪（0，1]∪[2，+∞）。

所以，学生根据函数的性质画出图形，就能轻易地观察到到函数的走向和趋势，将题目与直白的图形结合起来，答案便呼之欲出了。

（二）数形结合思想在求函数最值中的应用

最值问题，指的是求某个代数式或函数的最大值或最小值，部分题型能够利用重要不等式相关知识直接解答，但有时候用起来相当繁琐，并且计算量十分大。在这种情况下，如果我们换一种方式来分析问题，比如分析一下这些式子的几何意义，再挖掘出式子中隐藏的几何图形，并结合几何知识来计算函数的最大值或最小值，问题就会变得简单得多。

1.转化成直线斜率公式求最值

例1 假设实数x、y满足等式（x-2）2+y2=3，问y/x的最大值是多少？

解：由等式（x-2）2+y2=3可以看出其几何意义，它表示以坐标（2，0）为圆心，根号3为半径的圆形，如上图所示。y/x实际上是圆上的点（x，y）与原点（0，0）之间连线的斜率。因此，该问题可以转化成一个几何题目，即点Q在以坐标（2，0）为圆心、根号3为半径的圆上运动，问直线OQ的斜率最大是多少？分析图形可知，当点Q在第一象限与圆相切的时候，OQ斜率达到最大，答案是tan 60°等于根号3。

2.转化成圆锥曲线定义求最值

例2 如果|x+3+y|+|x-3+y|=10，那么|4x+5y|的最值为多少？

解：首先假设Q=x+y，我们可以把这样的式子转化成坐标式，这样很容易理解Q点的运动轨迹相当于一条圆锥曲线，借用其参数表达式将题目简单化可得{4x+5y}max等于20，{4x+5y}min等于-20。

3.转化成两点之间距离求最值

例3 函数y=的最小值是多少？

解：这题以代数的角度切入容易走进死胡同，如果以数形结合的思想将题目进行转化，可以借用两点间距离成，如下图所示：

题目变成了在x轴上求点P，使得|PA|+|PB|的值有最小。因为线段AB同在x轴的一边，所以取点A以x轴为参照的对称点C（0，1），然后可以得到（|PA|+|PB|）的最小值等于（2-

0）2与（2+1）2的和的平方根，答案是根号13。

（三）数形结合思想在考察函数性质中的应用

例1 函数y=-xcosx的部分图像是（ ）。

解：本题是需要指出函数y=-xcosx的部分图像，通过对函数的性质的思考，容易得知函数y=-xcosx是一个奇函数，由奇函数的图像关于原点对称的特点可以首先排除A和C两项，令x=1<π/2时，y=-1cos1=-cos1<0，点（1，-cos1）在第四象限，排除B后得出正确答案是D。

例2 假设y=f（x）为定义在Q上的奇函数，并且y=f（x）的图像以直线x=1/2为参照对称，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值是多少？

解：因为y=f（x）不能够确定，所以f（x）的函数值很难直接算出来。但是通过数形结合的思想，结合奇函数的性质，就比较简单了。从题目可推出f（0）=0，再加上y=f（x）的图形以直线x=1/2为参照对称，所以f（1）=0，由奇函数可以推出，f（-1）=0，再从对称性可以得到：f（2）=0，以此类推，f（3）=f（4）=f（5）=0，所以答案就是相加结果为零。

（四）在解函数零点个数中的应用

例1 假设函数f（X）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=

f（2-x），且当x∈[0，1]时f（x）=x3。函数g（x）=|xcos（πx）|，

问函数h（x）=g（x）-f（x）在[-1/2，3/2]区间零点的个数是多少？

解：由题干可知f（x）为偶函数，所以f（x）=f（2-x）=f（x-2），因此f（x）是以2为周期的循环函数，g（x）为偶函数，如图所示两者有六个交点，所以答案为6。

三、结语

数形结合思想是中学数学解题的重要思想方法，在历年高考中都是重点考察的对象。它可以培养学生的数学直觉思维、发散性思维以及创造性思维，提高学生的自主学习能力，这种以学生為主体的教学方法将使学生从长远上获得益处。最后，如何将数形结合思想更好地运用于教学，还需要我们进行更多地探索。

参考文献：

[1]刘春雷.数形结合思想在中学数学解题中的应用[J].黑龙江教育（学），2016，（05）：32-33.

[2]何伟宏.数形结合思想在中学数学中的应用[J].新课程（中），2015，（12）：158-159.

[3]叶旭丹.数形结合思想在中学数学中的应用研究[J].成才之路，2015，（33）：73-74.

作者简介：

吕银堂1965.10男，汉族，湖北省监利县，大学学历，中教一级，工作单位，湖北省监利县新沟中学。