江苏省镇江市丹徒高级中学 吴海军 邱红英

2017年的江苏高考数学题令人瞩目，尤其是第20题，被众多老师意为“绕口令”，且具有高等数学之背景。那么我们就来探究延伸此高考神题。

真题再现：已知函数有极值，且导函数 的极值点是 的零点。

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明： ；

首先我们审题，如果概念不清楚，真会搞混。题目中导函数的极值点其实就是原函数二次求导所得函数的零点，函数 有极值就是其导函数有解（拐点除外）。

题目分析完毕，我们开始探索其解答：

第一问是求函数关系式，难度在于定义域，但只需排除拐点即可，考场中很多同学就是忘记排除拐点。

令 ，得（注意：此处为导函数的极值点）

∴ 当， 的极小值为

∵题目要求 的极值点为 的零点，

注意：相当一部分同学到此处就以为结束了，其实原函数有极值还需继续考虑。

∵ 有极值，且

∴ 方程 有实根（拐点情况除外），

∴ 从而

当 时，故 在R上是增函数，没有极值，舍去。（注意：导函数有解不等价于原函数有极值）

综上，

延伸反思：其实从首问便看出此类题目的核心点便是定义域，定义域的确立往往与题目的隐含条件相挂钩，特别是拐点，与基本不等式、方程解的有无意义相扣。

那么完全平方（立方）公式还有什么妙用呢？我们借开头的高考题第20题第3问继续探究下去。

第三问容易理解，只要将的极值写出即可，并求和。

解：设 的极值点为

写到这，灵敏的同学感觉要使用韦达定理，为什么？二次函数要想把根写出来，再代入原函数求解，根本就是异想天开，所以迁移能力好的同学们便能写下去。

从而

∴ f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+2，

为何之和是0？其实此处有一个相当漂亮的三次函数的性质：

函数f（x）= ax3+bx2+cx+d的图象是关于称的。

题目进行到这，关键部分结束，接下来只要对原函数求极值即可。

∴ 求导得函数h（a）在定义域上单调递减。

∵ h（6）（注意：题目中的是随便给的吗？显然不是）

∴ a∈ 。

往往存在某个x，使得f（x）=z，且z为题中必要常数。

压轴之问虽解完，但这其中的代换思想、完全平方式思想我们已经体会过，下面我们探究一道与之相关的题型：

已知函数实数 满足求8s+8t的取值范围。

老师点评：这最后一步的求解和2017年压轴题最后一问的方法是一样的，此处略。这其实是多次求导问题的本质。

分析：本题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等知识，考查运用数学思想方法解决问题的能力。在第三问中，我们发现这个式子中含有e，且是指数式，不难想到与对数有关，再精确一点就是与ln有关，而在对数公式里有关于商的对数关系，就可以想到是作商比较！

探究到此，我们发现一道高考神题能够衍射出如此之多技巧与背景，与如此之多题目相互渗透，说明数学学科的联系之紧密，之博大精深，正所谓学无止境，任何人唯有在数学的海洋中不断探索前行，方能摘得那一颗颗璀璨的珍珠。

[1]于洋，傅海伦，陈梅．对数学高考研究的再认识[J]．教学与管理（中学版），2015（4）：77-79．

[2]戴安东．2017数学高考有感[J]．新高考（高三数学），2017（9）：8．