（云南省丽江市华坪县第一中学 云南华坪 674800）

一、提出问题

非典型二次函数求值域是高中数学的高频考点，因其在试卷中通常以非典型的形式出现，使它成为了近年高考的热点。由于其非典型形式众多，且可以与很多高中数学知识点例如向量、三角函数等结合起来，很具有迷惑性。事实上只要理解并总结它的几种非典型形式，透过现象认识本质，可以把它转化为我们熟悉的知识进行计算求解。

二、准备知识

1.一般二次函数当α>0时图像为开口向上的抛物线，对称轴自变量x距离对称轴远函数值大，反之小，值域为y≥（4α c -b²）/4αc；当 α＜0时图像为开口向下的抛物线，对称轴自变量x距离对称轴远函数值小，反之大，值域为

三、典型二次函数求值域

1．定轴，定区间型

例1、已知二次函数f（x）=-x²+4x+9，求f（x）在-2≤x≤3的值域。

解：此二次函数的图像开口向下，对称轴x=2。由于2和-2距离对称轴x=2分别最近、最远，故在2和-2处分别取得最大值、最小值，值域为-3≤y≤13。

2．动轴，定区间型

例2、已知二次函数f（x）=x²-2αx+b,求f（x）在闭区间[-1,1]上的值域。

解：分析：此二次函数的图像开口向上、对称轴x=α。确定不了区间[-1,1]上的点到对称轴x=α的距离哪个远哪个近，故要讨论区间[-1,1]相对对称轴x=α的位置以定远近。

当α＜-1时，区间[-1,1]在对对称轴x=α 的右边，值域为[1+2α+b,1-2α+b]

当α＞1时，区间[-1,1]在对对称轴x=α 的左边，值域为[1-2α+b,1+2α+b]

当-1≤α≤1时，对称轴x=α 在区间[-1,1]上，显然α距离对称轴近，但确定不了哪个端点距离对称轴远，故需以区间[-1,1]的中点为界再分两种情况讨论：即当-1≤α≤0时值域为[-α²+b,1-2α+b]；当0＜α≤1 时值域为[-α²+b,1+2α+b]。

3．定轴，动区间型

解法与2类似：主要讨论区间与对称轴的位置以定远近，此处不再详表。