杜争光

（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃，成县 742500）

1 引言及主要引理

文献[1]对 Taylor公式“中点函数”的可微性进行了研究，在附加了单调的条件下，证明了“中点函数”的可微性，并得到了该函数在a的导数公式，推广了渐进性的相关结论；文献[2]进一步推广了这一结果，讨论了广义Taylor中值定理“中点函数”的性质，得到了更加一般的一个结；文献[3]将微分中值定理和积分中值定理统一在一个表达式中，并对已有成果进行了推广；文献[4]讨论了推广之后的微积分中值定理“中间点”的渐进性，得到了一个一般性的结论。

本文将继续对Taylor中值定理进行推广，得到了一个更具一般性的余项形式，对Taylor中值定理的 Peano余项、Lagrange余项、Cauchy余项、Schlomilch-Roche余项、积分型余项和广义积分型余项等六个余项进行了统一表述。讨论了该余项“中间点”的渐进性，推广了已有的一些结论，可作为文献[1-4]的补充和完善。文中需要几个重要引理，现引述如下：

引理1[5]若函数f(x)在a的某邻域内存在n＋1阶导数，且存在实数α≥0，对∀x∈有

引理2若函数φ(x)在a的某邻域内连续，且存在实数，对∀x∈有

其中，=是Beta函数。

引理3[3]若函数在闭区间上存在n+1阶导数，函数在闭区间上存在阶导数，且，，则至少存在一点，使得

2 主要结果

定理1若函数在a的某邻域内存在n＋1阶导数，函数在内连续，则对于，，至少存在一点在a与x之间，有

证明 对于，(不妨设x＞a，对于x＜a的情形同理可证)，构造函数

现考查函数，

(i) 在闭区间上连续；

(ii) 在开区间内可导；

(iii)

由 Rolle定理，存在一点，使得，而

综合(5)-(9)，便有

整理上式，并注意到，便有