王伟民 辛存良

(1. 安徽省太和县宫集镇中心学校, 安徽 太和 236652； 2. 山东省阳谷县西湖中学，山东 阳谷 252311)

密度计是测量液体密度的仪器，其构造非常简单——中空的柱状玻璃管下端配一重物便构成了密度计构件的“全部”．因为结构简单,所以多数人(特别是学生)利用身边的生活材料,可以就地取材地进行密度计的手工制作．但是要制作出可以相对比较精准测量多种液体密度的“实用”密度计,密度计制作过程中的两个“细节”问题就不得不认真考虑.这两个“细节”问题分别是如何画出密度计的刻度线,以及密度计下面的配重应如何选择．

1 如何给密度计标刻度线

用密度计测量各种液体的密度,由于同一支密度计漂浮在密度不同液体的液面时所受浮力相等.由阿基米德原理可知,密度计排开各种液体的质量相等,所以,同一密度计排开不同液体的体积跟液体的密度成反比.如果密度计是一个“标准”的柱体,那么,密度计浸入液体中的长度与液体的密度成反比．因此,分度值一定时,柱状密度计的刻度线是不均匀的——越往上刻度线越稀疏,越往下刻度线越密集．那么,柱状密度计上这种不均匀的刻度线是如何精准标出的呢?不妨以一个具体实例为例进行分析说明．

图1

例1.某学生采用在一根中空的柱状细玻璃管下端拴一个螺丝帽的方法,自制了一支密度计．为了精确标上刻度,他先在玻璃管的内侧固定一个纸条,并用一支精准密度计进行校正,发现当自制密度计放在纯水中漂浮时(纯水的密度1 g/cm3),水面在纸条的A处,当自制密度计置于密度为0.8 g/cm3的液体中漂浮时,液面在纸条的B处,如图1所示．请利用直尺和圆规在纸条上画出密度计的刻度线．要求刻度范围(即密度计的量程)在0.6 g/cm3～2.0 g/cm3之间,且0.6 g/cm3～1.0 g/cm3范围内的分度值是0.1 g/cm3,在1.0 g/cm3～2.0 g/cm3范围内的分度值为0.2 g/cm3．

解析:考虑自制密度计下端栓着的螺丝帽,密度计浸入液体中的部分,作为整体已“演变”成了不规则的物体．为便于分析,我们将自制密度计的下端(连同螺丝帽)进行满足一定条件的形变——形变成体积不变,重力不变,且截面积等于中空玻璃管截面积的“规则”柱体,如图2所示．显然,形变之后的密度计跟原来的密度计相比,当它们置于同一种液体中时,露出液面的体积是相同的,浸入液体中的体积也是相同的,因此,我们只需在图2(b)中形变后的密度计上标刻度线即可．

图2 自制密度计等积变形示意图

图3

再看其他刻度线位置的确定方法．

如图4所示,过C作任意射线CR,从C点起用圆规在射线CR上顺次截取10条相等的线段,SQ是其中的第7段,NM是其中的第10段.以A为端点分别作射线AS、AQ和AN,过M分别作MD∥AS,ME∥AQ,MF∥AN,分别交纸条的边缘线于D、E和F,则过D、E、F3点作出的3条刻度线,分别为0.6 g/cm3、0.7 g/cm3、0.9 g/cm3的刻度线．

图4 自制密度计刻度线作法示意图

下面对这一结果进行证明．

在图4的纸条上,用尺规作图作线段中垂线的方法,分别作出线段CD、CE、CB、CF、CA的中点G、H、I、J、K,则过这5点所作刻度线对应液体的密度值,分别为D、E、B、F、A5刻度线对应数据的2倍,大小依次为1.2 g/cm3、1.4 g/cm3、1.6 g/cm3、1.8 g/cm3、2.0 g/cm3．

以上我们是利用尺规作图的方法对自制密度计的刻度线进行标定．实际给自制密度计标刻度线,也可用特定的方法(例如借助量筒),或者根据测量的相关数据(例如测量出自制密度计的质量以及密度计漂浮在两种已知密度液体表面时对应位置间的距离等),测量或计算出密度计柱体部分的横截面积之后,通过计算的方法，算出密度计漂浮于各液体液面时不同液体密度对应刻度线的位置,再进行自制密度计刻度线的标注．

2 配重物体质量和体积大小的确定

掌握密度计刻度线的标定方法之后,我们关注的另一个问题自然是自制密度计的量程和分度值的确定．

密度计下面配重物体的作用,一方面可以降低密度计的重心(中空玻璃管的重心通常在玻璃管长度的中间位置,下面添加密度大、质量也大的配重之后,作为整体,密度计的重心会明显降低),使密度计漂浮于液面时重心在浮心之下,可以“稳定”地直立漂浮于液面;另一方面,配重体体积大小和质量大小选择的不同,会影响分度值确定的密度计刻度线间的距离,对长度一定的密度计而言,自制密度计刻度线间的距离过大或过小,会直接影响密度计的使用性能——若刻度线间距过小(这里的“间距”指的是分度值一定的两刻度线间的距离),实际标刻度线时,就不得不增大密度计的分度值,则会降低自制密度计测量的精确度;若刻度线的间距过大,则自制密度计的测量范围(量程)便会减小,很多液体的密度便无法测量．那么,应该如何确定自制密度计配重的质量和体积呢?我们依然以一个具体实例为例进行分析说明．

例2.某学生想利用手头已有的一根一端封闭的中空柱状玻璃管自制一支密度计(封闭端的截面是平面),经测量,这根玻璃管的长度为20 cm,质量为2 g,横截面积是1 cm2,为测量精确而又方便,该学生想让自制密度计的量程设定为0.6 g/cm3～2.0 g/cm3,有刻度线的部分长度为14 cm,玻璃管的上下方分别留出5 cm和1 cm没有刻度的“机动”长度,如果在玻璃管的下端配一重物,试确定配重物体的体积大小和质量大小．

分析:漂浮于液面的物体,所受液体的浮力等于自身的重力,由阿基米德原理可知,物体所受液体的浮力等于物体排开液体的重力,所以,漂浮在液面的物体自身的重力等于它排开液体的重力,因此,漂浮物体的质量等于它排开液体的质量．利

图5

用这一关系式,我们可以采用解方程的方法确定例2问题中配重物体的体积和质量．

解析:如图5所示,设配重的质量为mg,体积是Vcm3,依题意则有

m+2=(V+1)×2,

m+2=(V+15)×0.6.

解得m=10 g,V=5 cm3.

对例2中的问题,当中空玻璃管的横截面积、长度、体积和质量等物理量确定之后,配重体的体积和质量每取一对确定的数据,自制密度计上两个确定密度对应刻度线之间的长度就会有唯一确定的值与其对应．所以,只有配重物体的质量和体积选择合适大小的数据,才能够使得自制密度计的量程和刻度间隔满足事先设定的条件．