王富美

[摘要]中等学生人数占优，研究如何提高中等学生第一轮复习效率具有实际意义.

[关键词]高中数学；中等学生；复习；效率

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08003102

从2016年开始，广东省高考试卷由自主命题转为参加全国一卷，广大高三教师通过一年的高三复习备考积累了一定的经验，各地方都举行各种的经验交流活动.

本人于2016年9月14日参加了由惠州市教研室组织在惠东高级中学举行的高三教师教研会，听了一节王老师执教《同角三角函数基本关系及诱导公式》的公开课，王老师采用了高三复习课“知识梳理、基础自测、核心考点、巩固练习”的常规模式，根据学生的实际情况，成功完成了大题量的练习，学生反应较好.通过本堂课，本人觉得，面对广东省普通高中學习成绩和学习能力一般的中等学生，我们教师在高三第一轮复习课中可以做如下的改进.

一、知识考点探究，抓住“源”和“本”

纵观2016年的全国卷可以发现，有很大一部分试题是课本上的例题和练习的改编.因此，教师应该要重视课本的例题和练习.

【例1】（教材改编）已知α是第二象限角，sinα=5/13，则cosα=（）.

A.-5/13B.-12/13C.5/13D.12/13

点评：该题重点在于同角三角函数基本关系（sinx）2+（cosx）2=1的应用.笔者认为通过该题的解答还应当帮助学生进行小结：

（1）提醒学生该题的核心知识点是（sinx）2+（cosx）2=1.

（2）上知识点出现有哪些题型或变形，核心的东西是什么？

可变题型①：已知sinα，求cosα和tanα或者已知cosα，求sinα和tanα（核心是同角关系和角度α所在象限的讨论）.本题属于简单题，直接利用公式即可.

可变题型②：已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.-4/3B.5/4C.-3/4D.4/5

本题难度有所提高，方法比较多.

解法一：分θ为第一、第三象限角两种情况分别求出sinθ和cosθ，代入所求式子可得（核心内容考察同角关系和分类讨论）.

解法二：将tanθ=2和sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ分别将条件和所求转化为sinθ=2cosθ和

（sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ）/（sin2θ+cos2θ），再将sinθ=2cosθ代入（sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ）/（sin2θ+cos2θ）化简可得.核心内容为同角基本关系、“1”的灵活运用、转化思想的运用.

解法三：将sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ分别转化为（sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ）/（sin2θ+cos2θ）后分子和分母同时除以cos2θ，将正弦和余弦转化为正切再进行计算可得.核心内容增加了“切弦互化”的思想方法.

（3）针对该题型采取什么样的办法去解决？

该类题型和知识点往往出现在选择题或填空题当中，考生应当要避免小题大做，尽量节省时间.教师在平时就要提醒学生有这种意识并适当训练.

二、题型探究，抓住“变”和“归一”

高三学生已经有了基本的知识和技能，这就要求高三的第一轮复习课应该让学生在梳理知识、总结题型的规律方法、构建各知识点间的联系等方面得到提高，对于典型题要让学生尽量反思，做到一题多解，一题多变，多题归一.

【例2】已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.-4/3B.5/4C.-3/4D.4/5

解题结束后应该对该题进行小结，培养学生“就题论题→就题论法→就题论道”的分析、解决一类问题的能力，从而提升他们的数学素养.

小结（1）.例2中的条件tanθ=2，还可以做一些变形.如，变为tanθ/2=2，3sinθ+cosθ=0，tan（π/4+θ）=2，tanθ=a，sin（3π+θ）=2sin（3π/2+θ）分别如何去解答例2.

小结（2）.例2中的问题又可以做哪些变形呢？变形如下：（2sinθ-cosθ）/（sinθ+2cosθ）；1/（cos2θ+sin2θ）；（sin2θ-cos2θ）/（1+cos2θ）.变形之后分别该怎样解决？

小结（3）.该类型题考察的核心内容是（sinx）2+（cosx）2=1、tanx=sinx/cosx、“1”的灵活运用，重在掌握他们间的相互转化.

【例3】已知sinαcosα=1/8，且5π/4<α<3π/2，则cosα-sinα的值为（）.

A.-3/2B.3/2C.-3/4D.3/4

本例在讲解基本解法后应帮助学生进行总结和归纳：

小结（1）.本题考查的主要知识是同角三角函数基本关系中sinx+cosx，sinx-cosx，

sinxcosx间的基本关系和象限角、三者正负的判断.

小结（2）.解决该类型题的基本方法是抓住sinx+cosx，sinx-cosx的平方与sinxcosx及“1”间的加减平方运算，任意知道其中的一个可以求出另外的两个.

小结（3）.条件和问题可以进行各种的变形.如：sinαcosα可以变形为sin2α；sinα+cosα、sinα-cosα可变形为cos2α、sin3α+cos3α，sin3α-cos3α，sin（π-α）±2sin（π/2+α）等.角度范围可以变形为“在三角形中”.

【例4】已知sin（α+π/12）=1/3，则

cos（α+7π/12）的值为.

就题论题：本题考查的主要知识点是诱导公式，难点是找出两个角度α+π/12与α+7π/12间的关系.解答如下：cos（α+7π/12）=cos（（α+π/12）+π/2）

=-sin（α+π/12）=-1/3.

就题论法：

①該类题型要求熟练诱导公式，对“奇变偶不变，符号看象限”有透彻的理解；

②解决该类题型时要具有整体的思想，不要轻易将条件中的角度用正弦、余弦的和、差角公式展开，而应该尽量将角度看成整体，观察这些整体角度间的关系（通常是加、减后得出特殊角）.

③体现出一题多变.小结常见的角度组合有：（π/6-α）+（α-2π/3）=-π/2；（π/6-α）+（π/3+α）=π/2；（π/4-α）+（π/4+α）=π/2；（α+β）=（α+π/4）+（β-π/4）；（α+β/2）=（π/4+α）-（π/4-β/2）；2α=（α-β）+（α+β）；2β=（α+β）-（α-β）；（α+β）=2[（α-β/2）-（α/2-β）]；2（α+π/6）=（2α+π/12）+π/4及它们的变形式.

就题论道：角度间的关系其实就是通过对角度的加、减、2倍的运算构造等式或者配凑成特殊角.如：±π/2，±π/4，±π/3，±π/6等.然后再利用三角公式进行解题.

三、感悟体会

在广东省普通高中，有很大一部分的学生数学基础和数学学习能力一般，这些学生在全国一卷的试卷难度增加的情况下，要提高数学成绩，在高三一轮数学复习中就需要教师进行正确的方向指导和知识、规律方法的归纳总结.

在知识点方面要做到面面俱到，不要有遗漏，认真的研究考试大纲和考试说明，对知识内容准确地把握知识间内在的联系，找到高考试题设计的突破口；在解题技巧方面要针对不同题型采取不同的解题方法，尽量避免小题大做，大题要解题规范；在学习习惯方面要经常反思，归纳小结，实现从就题论题到就题论法再到就题论道的质的提升，要积极引导学生通过问题的解决梳理知识间的联系、做到触类旁通，举一反三.在教材的处理方面要重视教材的作用，发挥其教学功能，特别是专家通过精选的例题和阅读材料.另外，还要在学生知识点得到落实的基础上激发学生的好奇心和求知欲，使他们积极投身于学习活动中，“兴趣是最好的老师”只有学生自己行动起来，才能收到好的教学效果.

（责任编辑黄桂坚）