袁 东

(陕西省土地工程建设集团有限责任公司，陕西 西安 710075)

0 引言

结构动力学有两类反问题，一是模态和结构参数辨别以及结构模型的修正；二是对桥梁结构动态荷载进行反算。由于对结构矩阵逆运算是病态的，因此对动态荷载反算时，荷载值与真实值误差较大[1]。毛玉明[2]、梅立泉等人[3]将正则化方法引入到载荷识别，取得了较好的效果。同时，在结构的响应测试时，还有许多因素对测试结果产生影响。本文以MATLAB为工具，输入已知的车—桥系统参数，首先对移动时变力、车桥相互作用进行分析，然后在数值分析时加入各级环境噪声，从而分析测点数与模态数、正则化参数、模态参数误差、桥面不平度以及车速等因素对荷载识别结果的影响。

1 正则化的一般理论

正则化方法能够很好地解决不适定问题，其根本原则是，尽可能的保证近似解的稳定性，从而保留正则化解的基本信息。为了达到上述目的，近似解进行求解是正则化法的基本方法[4]。在进行反问题研究时关键在于如何建立有效的正则化方程组。

正则化的主要内容：约束最小化经验误差函数，约束有引导作用，在对误差函数进行解析时，正则化方法会使约束的梯度减少，这样会得出参数值量级小的解[6]。另外一个重要的方面，该方法可以将反问题的不适定性进行较好的处理，只要选择合适的正则化方法，即使试验中的样本数较少，求出的解也会贴近真实解[7]。

2 桥梁动态称重结果的影响因素

2.1 正则化参数的影响

已知车、桥的参数，车辆的前、后轴间距4.27 m，以72 m/h匀速移动，两荷载值表达式为：

(1)

目前Tikhonov(吉洪诺夫)正则化的应用比较广泛，对反问题的求解效果也较好。对上述函数取极小值：

Pλ=min{

(2)

其中,Pλ为正则化解；λ为正则化参数，由λ对Pλ的稳定性进行控制。

Tikhonov正则化的标准公式：

(STS+λ2I)Pλ=STR

(3)

其中，解Pλ=(STS+λ2I)-1STR。

上式的奇异值分解形式为：

(4)

表1～表3为荷载识别结果。

表1 λ=0.1时在不同响应噪声条件下荷载识别误差

表2 λ=1时在不同响应噪声条件下荷载识别误差

表3 λ=2.0时在不同响应噪声条件下荷载识别误差

正则化参数的计算比较复杂，若想获得最佳的正则化效果，须将正则化参数控制在0.08～2。因此，本文在计算时，取λ=0.1,1,2.0，针对不同的噪声水平，采取不同的正则化参数，得出相应的分析结果。研究发现，轴重识别结果的准确性与稳定性在很大程度上受正则化参数的影响。正则化参数的取值适当，则荷载识别结果越精确，同时减小噪声对识别结果的影响，当正则化参数取1时，识别结果最精确。

2.2 测点数与模态数的影响

传感器的位置与数量对荷载识别也有一定影响。为了验证影响的关系，在简支梁桥布置4个～8个测点，分别对响应模态数和识别模态数进行分析，模拟1%,5%两种噪声。同时将正则化参数λ设为1，便于分析比较。

表4 噪声γ为1%时由测点数引起的荷载识别误差

表5 噪声γ为5%时由测点数引起的荷载识别误差

表4,表5证明，测点数越多则荷载识别误差越小，这是因为测点数多，仪器设备所收到的动态响应越接近真实值，测试的结果越准确。

荷载识别结果与响应计算模态和识别模态数均有一定的关系，为了验证上述关系，在简支梁桥上布置7个测点，提取响应前7阶模态，同时加入1%,5%,10%的噪声。得到如表6～表8所示数据。

表6 噪声γ为1%时由测点模态数引起的荷载识别误差

表7 噪声γ为5%时由测点模态数引起的荷载识别误差

表8 噪声γ为10%时由测点模态数引起的荷载识别误差

表6～表8证明，荷载识别结果受识别模态数的影响也较大，等效脉冲荷载引起了桥梁振动，提取了高阶振型，当识别模态的频带覆盖荷载频带时，误差较小。当荷载响应模态数等于识别模态数，误差最小。

2.3 模态参数误差的影响

模态参数误差对荷载识别也有一定的影响，本文对实测值进行模拟，研究模态参数误差对识别结果的影响程度(见表9，表10)。

从表9，表10中可以看出在响应噪声水平为1%的情况下，当模态参数误差由1%增大到5%时，荷载识别误差由7.82%增大到22.98%，增大了193.9%。

表9 1%的模态参数误差β对荷载识别误差的影响

表10 5%的模态参数误差β对荷载识别误差的影响

在模态参数误差为1%的情况下，当响应噪声水平由1%增大到5%时，荷载识别误差由7.82%增大到9.56%，增大了22.2%。

所以，模态参数误差对识别结果影响是很大的，而噪声水平对识别结果的影响相对较小。

3 结语

本文着重介绍了正则化方法，通过数值模拟，联合吉洪诺夫正则化与动态称重算法，获得了较好的试验结果。同时在模拟时调整了一系列影响参数，最终得到以下结论：

1)通过动态称重，可以对桥上移动荷载产生的动力响应进行荷载识别。

2)正则化方法是解决反问题的行之有效的方法，识别结果较稳定，受噪声影响小。

3)布置的测点多，则荷载识别误差小。响应模态数与识别模态数相等的情况下，识别误差达到最小值。

4)模态参数误差对荷载识别结果的影响相对较大。

参考文献:

[1] 袁向荣，陈恩利，陈鸿天.由响应识别移动荷载[J].工程力学，1997,14(4)：89-97.

[2] 毛玉明，郭杏林，吕洪彬.动载荷反演问题的正则化求解[A].第18届全国结构工程学术会议论文集第Ⅰ册[C].2009.

[3] 梅立泉，崔维庚.面载荷识别的TSVD正则化方法[J].应用力学学报，2010，27(1)：29-36.

[4] P.Griffiths.Introduction to Algebraic Curves[Z].

[5] 王彦飞.反演问题的计算方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6] 尹秀玲. 解线性不适定问题的几类正则化方法[D].上海：上海大学硕士论文，2005.

[7] Latt’es R, Lions J L. The method of quasi-reversibility: applications to partial dierential equations. Elsevier, New York,1969.