秦瑞兵,麻俊杰

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

方差在统计应用中,常常被理解为风险,估计方差变点的发生,能够有效地监测风险的变化,避免不必要的损失。Gombay等[1]在独立情形下,应用CUSUM型估计量对方差变点进行了估计。Wichern等[2]应用迭代的似然估计量对一阶自回归模型作变点估计。Wang等[3]应用CUSUM统计量检验和估计长记忆线性模型的方差变点。Cheng[4]提出了一种半样本算法，可以提高变点估计的效率。王慧敏等[5]通过构造CUSUM型估计量，研究了线性相依序列均值方差同时存在变点的估计问题。Qin等[6]基于CUSQ型估计量,应用迭代算法,提高了线性模型方差变点的效率和精度。同时,Qin等[6]在文中指出当变点前期方差小于后期方差时,早期方差变点的估计精度会降低;当变点前期方差大于后期方差时,晚期方差变点的估计精度会降低。但是文中缺乏相关的理论分析,基于此,本文对序列独立情形下的方差变点估计提出改进,在应用Kokoszka等[7]给出的Háyek-Rényi型不等式对独立序列的变点估计误差进行估计,并且提出一种截断样本的方法,有效地提高了方差变点估计的精度,尤其是变点发生在初始位置和终点位置的情况,估计精度有显著的提高。

1 模型和估计量

考虑如下的模型:

(1)

考虑简单情形,对模型做出如下假设:

(i)ei,i=1,2,…,n独立同分布,均值为0,方差σ2有限;

(ii)ei,i=1,2,…,n的四阶矩有限。

当μ为已知时,不失一般性,假设μ=0,对模型(1)给出k0和τ0的CUSUM型估计量,如下:

(2)

2 主要结论及证明

Kokoszka等[7]给出了任意二阶矩有限的随机变量序列的型不等式,如下:

引理1 (Háyek-Rényi型不等式)X1,X2,…,Xn为任意随机变量序列且二阶矩有限,c1,c2,…cn为任意非负常数,对任意给定的ε>0有

证明在满足前面的假设条件下,由Qin等[5]中A.10式可得:

当k=k0时,|ERk|达到最大值|ERk0|=|Δ|τ0(1-τ0)。有

|ERk0|-|ERk|≥|Δ‖(τ-τ0)|(τ0∧(1-τ0))

(3)

其中τ0∧(1-τ0)表示取τ0与1-τ0中的较小者。

又

(4)

所以

(5)

考虑式(5)的主导项部分

(6)

Fig.1 σ1<σ2, the changing curve of S图1 σ1<σ2时,S的变化曲线

基于以上分析,本文提出一种截断样本的方法,使得变点发生的相对位置在其估计较好的区间上,从而得变点估计更加精确。算法步骤如下:

2.步骤(2)和(2′)中数值0.7的选取基于上述理论分析和数值实验。

3 Monte Carlo模拟

对于模型(1),取,μ=0,τ0=0.1,0.2,…,0.9,样本容量,n=1 000,{ei}(i=1,2,…,n)服从标准正态分布且独立,进行模拟。重复实验5 000次,比较本文方法与文献[4]中迭代算法的模拟结果的中位数、均值、标准差、均方误差、运行时间。从表1可以看出,当σ1<σ2时,当τ0=0.1,0.2,0.3时,与迭代算法相比本文方法的模拟结果中位数和均值更接近真实值,标准差和均方误差也更小。同样,表2中显示,当σ1>σ2时,当τ0=0.7,0.8,0.9时,与迭代算法相比本文方法的模拟结果中位数和均值更接近真实值,标准差和均方误差更小。因为本文方法增加了截断样本的步骤,所以整体上看来变点估计的运行时间有所增加,但是提高了变点估计的精度,尤其是在迭代算法估计精度较差的变点位置上估计精度有显著的提高。

表1 σ1=1,σ2=2时的模拟结果对比Table 1 σ1=1,σ2=2, the comparison of simulation results

表2 σ1=2,σ2=1时的模拟结果对比Table 2 σ1=2,σ2=1, the comparison of simulation results

4 结论

在独立序列方差变点估计的问题中,当序列中方差大的部分占比较大时,变点估计的效果会变差。本文在理论推理和实验模拟的基础上提出一种截断样本的方法,能够提高变点估计的精度,Monte Carlo模拟验证了该方法的有效性。本文方法一定程度上也可以推广到序列有相依性的情形。

参考文献：

[1] Gombay E,Horváth L,Husková M.Estimators and Tests for Change in Variances[J].Statistics&RiskModeling,1996,14(2):145-160.DOI: 10.1524/strm.1996.14.2.145.

[2] Wichern D W,Miller R B,Hsu D A.Changes of Variance in First-Order Autoregressive Time Series Models-with an Application[J].JournaloftheRoyalStatisticalSociety,1976,25(3):248-256.DOI: 10.2307/2347232.

[3] Wang L,Wang J.Change-of-variance Problem for Linear Processes with Long Memory[J].StatisticalPapers,2006,47(2):279-298.DOI: 10.1007/s00362-005-0288-1.

[4] Cheng T L.An Efficient Algorithm for Estimating a Change-point[J].Statistics&ProbabilityLetters,2009,79(5):559-565.DOI: 10.1016/j.spl.2008.09.031.

[5] 王慧敏，贺兴时，赵文芝.相依序列均值和方差变点的估计[J].纺织高校基础科学学报，2017，30(2)：220-225.DOI:10.13338/j.issn.1006-8341.2017.02.010.

[6] Qin R,Liu W,Tian Z.A Strong Convergence Rate of Estimator of Variance Change in Linear Processes and Its Applications[J].StatisticsA:JournalofTheoretical&AppliedStatistics,2016:1-17.DOI: 10.1080/02331888.2016.1268614.

[7] Kokoszka P,Leipus R.Change-Point Estimation in ARCH Models[J].Bernoulli,2000,6(3):513-539.DOI: 10.2307/3318673.