方杏

在数学、物理甚至社会生活中，反问题都是普遍存在的，因为事物是普遍联系和相互作用的。本文就数学思维和学习中的反问题进行研究，包括加减法运算和乘除法运算、数的扩展、简便运算、算术与代数的衔接以及问题解决，可以启发教师教学和学生学习，成为教师的教学工具和学生的思维工具。

反问题（inverse problem）是相对于原问题（direct problem）提出的。在两个问题中，如果其中一个问题中的结构或元素包含了另一个问题的解的部分或全部，那么，我们称这两个问题互为相反问题。数学中的很多问题，无论难易，都不是孤立存在的。例如正比例函数和反比例函数、原命题和逆命题等等。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）中，课程目标明确提出培养学生“从数学的角度发现问题和提出问题”，“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”。应培养学生的这种反问题意识，让学生经历反问题的思考，认识问题的相反面。在数学思考和学习中拓宽一些相反方面的视角，进而提出反问题并解决反问题，这不仅是逆向思维的一种具体表现，也是培养学生反思意识和创新能力的有效途径。

1 反问题介绍

反问题是数学结构体系中的一个基本组成部分。学生们最早接触到的是算数中的反问题，例如自然数及其四则运算，包括自然数的扩展，算术和代数的衔接等。

1.1 四则运算与反问题

反问题对于自然数及其四则运算是至关重要的。在纯形式算术中，理解加减运算和乘除法的逆关系，可以强化学生灵活高效地进行计算。在加法和减法题目中，以下列举组合、均衡和比较问题这几类，说明相反问题在这几类情况下使用算术运算的关系：在组合问题中，集合与分离是一对相反关系，例如，将17个男生和21个女生组成一个班，或者把班上学生分成男生和女生两个组；均衡问题的形式是“A需要增加多少才能变成B？”该问题列算式对应的减法是间接加法，即是加法的逆运算；在比较问题中，例如：A>B，A与B的差和B与A之间的互补差是相反关系。

同理，除法是乘法的逆运算，乘除是一对相反关系。在均分问题中，总量可以通过除法运算进行平均分，或者求等量的几份的总和，即为相反问题。在单位转化中，例如将1平方米转化成10000平方厘米，或将10000平方厘米化成1平方米，存在相反关系。同乘法比较，例如，小红有糖果的数量是小明的3倍，即小明有糖果的数量是小红的三分之一。乘法变形，如将A缩小20%，列算式为：A （1-20%），即A ，是间接的除法运算。

1.2 数的概念的扩展与反问题

数字系统的拓展对学生理解概念和构建数字系统结构及其评估有着重要意义。人们对数字的认识是从计数开始的，即1，2，3，4，…，称之为自然数（natural numbers）。在自然数中，加法是封闭的，即两个自然数之和也是自然数；但其逆运算减法是不封闭的，就造成了一种不平衡，所以需要构建负数。例如：a>b，a-b=c成立，而b-a在自然数范围内是没有意义的，但是数c=a-b确实存在，所以就写成b-a=-c，称之为一个负数。引入负数后，加减运算就打通了。即：加上一个正数就等于减去它的相反数。

乘法在学校数学中首先是以重复添加的形式出现的，同样在自然数中封闭。且其逆运算除法不封闭，这就需要通过构造有理数体系来平衡的。在分数乘除法中，一般的乘法很容易得到理解：A 就是用A乘以a再除以b。而在除法中，A除以 等于A乘以 的倒数 ， 即：A A 。如此，分数的除法就可以用乘法逆运算解决了。

1.3 简便运算与反问题

这种对数的概念及其相反问题的理解，有利于学生快速有效地进行算术运算。当一个学生学会了计算86 57 142时，那么他可以根据加减运算的相反关系，很快找到其相关问题143 86或者85 58的答案。在算术运算中时常都是伴随着各种相反关系，理解这些关系，并且让学生利用这些关系灵活运用四则运算，可以检验计算和进行简便运算。例如：计算 。一个学生可以很流畅迅速地按照顺序进行计算，并且得出正确答案，说明该学生很擅长计算，但是对于数及其运算的意义的理解却未必明确。仔细观察算式，不难发现分子可以写成273 的形式，算式就化简为 ，很容易得到答案273。计算流畅性与对概念的理解之间的差别是内在抽象的，我们很难界定，因此相反问题的提出就可以作为一种外在检验，很好地解决这一困惑，这就需要培养学生对反问题的思考。

1.4 算术与代数的衔接

算术与代数在解决问题方法上是不同的。算术运算是为求出结果而直接进行的计算，而代数往往需要构建一种形式或模型，再进行计算得出结果，是结构性的思考。例如，计算15-7，学生会有意识无意识地运用代数原理由7+8=15推导出15-7=8（或者15-8=7）。其思考过程背后其实就是 。这种联系加法和减法的思维过程，我们称之为关系演算（relational calculus）。关系演算是链接算术和代数的中心。可将上述算式写成代数形式，为：7+x=15和x+8=15，其答案就可以通过加减法的相反关系来计算获得，这同样也适用于乘除法。利用算术的方式解决问题，思维是逆向的，而代数的方法思维是顺向的。從算术到代数的过渡其实是实现思维方式的转化过程。这种关系演算可以让学生自主建构出一般关系，联系算术与代数的算法，让学生经历过程性的思考，衔接算术和代数，从而实现学生从算术到代数运算的过渡。

1.5 问题解决

应用问题是小学阶段数学的重难点，要解决好问题，首先学生对于要解决的问题和已知信息需要很好的理解，再建立起已知与未知条件之间的联系，最后进行计算得出结果。例如解决下列问题：

问题1：小明用存钱罐存钱，存了20枚5毛硬币和10枚1元硬币。（1）小明存了多少枚硬币？（2）小明一共存了多少钱？

题目中已知条件为：“5毛硬币20枚”、“1元硬币10枚”，目标问题为：“总硬币枚数”和“总钱数”。解答思路是很明确的：

（1）20+10=30（枚）

（2）0.5 （元）

问题2：小明用存钱罐存钱，存了5毛硬币和1元硬币共30枚，一共值20元。小明存了5毛硬币和1元硬币各多少枚？

分析题目可知，已知信息为：“硬币总枚数”和“总面值数”（或总钱数），目标问题为：“5毛硬币枚数”和“1元硬币枚数”。解答的方式可以有多种，这里只列出两种方法作说明：

算术方法：1元硬币数量：

5毛硬币数量：

（2）方程方法：设有5毛硬币x枚，1元硬币y枚。列方程，得：

解得：

与问题1比较，问题2的解题过程较为复杂，并且思维过程正好相反。原因在于问题1与问题2的已知条件与未知条件互换了，问题1中包含了问题2的问题答案，问题2中也含有问题1的目标问题。不妨称问题1为原问题（direct problem），那么问题2则为其反问题（inverse problem）。问题解决的过程中最重要的是要建立已知与未知条件的联系，而这种反问题思考就是学生理解问题本质的过程。

2 反问题研究的启示

不仅在数学，物理甚至社会生活中，反问题都是普遍存在的，因为事物是普遍联系和相互作用的。本文就数学思维和学习中的反问题进行研究，包括加减法运算和乘除法运算、自然数的扩展、简便运算、算术与代数的衔接以及问题解决，可以在小学阶段内启发教师教学和学生学习，成为教师的教学工具和学生的思维工具。在课堂教学中，教师可以运用反问题来创设不同的问题情境，通过原问题与反问题相反关系的结构性特征，转换学生思考问题的角度，提升学生对问题理解的深度和灵活度。这样可以让学生从表面学习层次的理解，上升到问题本质。学生往往习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题，寻求解决问题的办法，而反问题思考，可以打破学生固化的顺向思维方式，逐步形成逆向思维。培养学生的反问题意识，认识问题内部的相反关系，提出反问题并解决问题的过程，也是建构全面的数学认知结构的过程，对学生更深入的数学学习会有所裨益。

（作者单位：首都师范大学初等教育学院）