文立平,　杨春花,　文海洋

(湘潭大学 数学与计算科学学院,湖南 湘潭 411105)

1　问题类及数值方法描述

设Cd是d维复线性空间，〈·,·〉为空间Cd中的内积，‖·‖是由该内积导出的范数.对给定的k×k实对称非负定矩阵A=[aij]，定义内积空间Ckd中的伪内积〈·,·〉A为

(1)

式中：τ>0是常延迟，φ:[t0-τ,t0]→Cd,f:[t0,+∞)×Cd×Cd→Cd,g:D×Cd→Cd是给定的连续函数且满足条件:

Re〈u1-u2-(w1-w2),f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)〉≤

α‖u1-u2‖2+β1‖v1-v2‖2+β2‖w1-w2‖2,u1,u2,v1,v2,w1,w2∈Cd，

(2)

‖g(t,ξ,u1)-g(t,ξ,u2)‖≤η‖u1-u2‖,(t,ξ)∈D,u1,u2∈Cd,

(3)

这里集合D:={(t,s):t∈[t0,+∞),s∈[t-τ,t]},β1,β2,η都是非负常数,而α≤0.

本文恒设初值问题(1)有唯一解x(t)，并把满足条件(2)、(3)的初值问题(1)构成的问题类记为R(α,β1,β2,η).近年来，各种类型的泛函微分方程数值方法的研究取得了丰硕的成果[1-3，5-11].最近，张诚坚等[12-13]研究了求解方程(1)的Runge-Kutta方法和单支方法的稳定性，文立平等[14-15]也研究了求解方程(1)的Runge-Kutta方法和单支方法的散逸性.本文将研究求解方程(1)的多步Runge-Kutta方法的数值稳定性.

求解常微分方程初值问题的s级r步Runge-Kutta方法为

(4)

众所周知，多步Runge-Kutta方法是一般线性方法的一个子类.记

这里Ik表示k×k单位矩阵，a=[a1,a2,…,ar]T,γ=[γ1,γ2,…,γs]T.

对于任意给定的k×l实矩阵Q=[qij]，定义一个相关的线性算子Q:Cdl→Cdk,

QU=V=(ν1,ν2,…,νk)∈Cdk,U=(u1,…,ul)∈Cdl,uj∈Cd,

Y(n)=hC11F(t(n),Y(n))+C12y(n-1),y(n)=hC21F(t(n),Y(n))+C22y(n-1),

(5)

这里

(6)

定义1[1]令k,l为实常数，称多步Runge-Kutta方法(4)是(k,l)-代数稳定的，如果存在r×r实对称正定矩阵G及非负对角矩阵D=diag(d1,d2,…,ds)，使得矩阵

非负定.特别地(1,0)-代数稳定称为代数稳定.

(7)

(8)

(9)

且假设存在一个常数v, 使得

(10)

成立. 积分公式(8)、(9)通常使用复化梯形公式、复化Simpson公式或者复化Newton-Cotes公式等[2].类似式(5)的写法，方法(7)可写成如下更紧凑的形式

(11)

这里X(n),Z(n),x(n),z(n),F(t(n),X(n),X(n-m))等记号的含义按(6)类似理解.

2　稳定性分析

为了研究方法(7)的稳定性，我们考虑问题(1)的扰动问题

(12)

将方法(7)应用于扰动问题(12)得如下扰动格式：

(13)

定理1设多步Runge-Kutta方法(4)代数稳定; 积分公式(8), (9)满足条件式(10); 问题(1)∈R(α,β1,β2,η)且满足条件4η2v2<1,α+β1+β2η2v2≤ 0, 则存在仅依赖于方法及α,β1,β2,η的常数C, 使得

上式意味着多步Runge-Kutta方法在求解初值问题(1)时是数值稳定的.

证明由方程式(11)减去方程式(13)可得

ΔY(n)=hC11ΔF+C12Δy(n-1),Δy(n)=hC21ΔF+C22Δy(n-1),

(14)

(15)

设方法是代数稳定性的，由式(2)、(3)及上式可得

(16)

(17)

根据条件式(3)和式(10),由式(9)及Hölder不等式易得

(18)

由此可得

(19)

将式(17)和式(19)代入式(16)中，可得

(20)

由α+β1+β2η2v2≤ 0，记实对称正定矩阵G的最大和最小特征值分别为λ1,λ2,有

(21)

类似式(18)有

(22)

(23)

(24)

(25)

由此便得定理的结论，定理得证.

3　渐近稳定性分析

本节将讨论多步Runge-Kutta方法的渐近稳定性.有如下的结果：

定理2若多步Runge-Kuatta方法(4)是代数稳定的，且其中对角矩阵D正定并有ρ(C22-C21C11-1C12)<1； 积分公式式(8)、(9)满足条件式(10); 问题(1)∈R(α,β1,β2,η)且满足条件4η2v2<1,α+β1+β2η2v2< 0, 则

(26)

即方法是渐近稳定的. 这里ρ(·)表示矩阵的谱半径.

证明由方程式(14)可得hΔF=C11-1ΔY(n)-C11-1C12Δy(n-1).代入式(14)的第二个式子，则有

Δy(n)=C21C11-1ΔY(n)+(C22-C21C11-1C12)Δy(n-1).

(27)

(28)

那么式(27)可改写成

Δy(n)=R(∞) Δy(n-1)+C21C11-1ΔY(n)，

(29)

其中R(∞)=C22-C21C11-1C12.由式(20)可得

由于R<1,则对于上述的ε>0,存在正整数N及常数C, 使得当n>N时，有‖Δxn‖2

[1]李寿佛. 刚性常微分方程及泛函微分方程数值分析[M]. 湘潭：湘潭大学出版社, 2010.

[2]BRUNNER H, HOUWEN P J. The numerical solution of Volterra equations [M].Elsevier Science Ltd, 1986.

[3]BELLEN A, ZENNARO M. Numerical methods for delay differential equations [M].Oxford:Oxford University Press,2003.

[4]HAIRER E, WANNER G. Solving ordinary differential equations II [M].Berlin:Springer-Verlag, 1991.

[5]HUANG C M, CHANG Q S. Dissipativity of multistep Runge-Kutta methods for dynamical systems with delays [J]. Math Comput Model, 2004, 40: 1285-1296.

[6]ZHANG C J,VANDEWALLE S.General linear methods for Volterra integro-differential equations with memory [J]. SIAM J Sci Comput, 2006, 27: 2010-2031.

[7]ZHANG C J, VANDEWALLE S. Stability analysis of Runge-Kutta methods for nonlinear Volterra delay-integro-differential equations [J]. IMA Numer Anal, 2004, 24: 193-214.

[8]YU Y X, WEN L P, LI S F. Nonliear stability of Runge-Kutta methods for neutral delay integro-differential equations [J]. Appl Math Comput, 2007, 191: 543-549.

[9]GAN S Q. Dissipativity of θ methods for nonlinear Volterra delay-integro- differential equation [J]. J Comput Appl Math, 2007, 206(2): 898-907.

[10]GAN S Q, ZHENG W M. Stability of multistep Runge-Kutta methods for systems of functional-differential and functional equations [J]. Appl Math Lett, 2004, 17: 585-590.

[11]WANG W S, LI S F. Dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral delay differential equations with piecewise constant delay [J]. Appl Math Lett, 2008, 21(9): 983-991.

[12]ZHANG C J, QIN T T. The mixed Runge-Kutta methods for a class of nonlinear functional-integro-differential equations [J]. Appl Math Comput, 2014, 237: 396-404.

[13]QIN T T, ZHANG C J. Stable solutions of one-leg methods for a class of nonlinear functional-integro-differential equations [J]. Appl Math Comput, 2015, 250: 47-57.

[14]WEN L P, LIAO Q. Dissipativity of one-leg methods for a class of nonlinear functional-integro-differential equations[J]. J Comput Appl Math,2017, 318: 26-37.

[15]LIAO Q, WEN L P. Dissipativity of Runge-Kutta methods for a class of nonlinear functional-integrodifferential equations [J/OL]. Adv Difference Equ，2017.DOI :10.1186/s13662-017-1196-0.