张红梅

一、教学设计

1.教学背景

提升数学阅读能力是学生学习数学的需要，是学生未来生活的需要。数学阅读能力包括：转译交流、分析推理、联想记忆、概括总结。利用数学公式定理课的教学可以提升学生的数学分析推理能力。在数学公式和定理的学习中，需要学生具备多方面的能力，对新旧知识联系的理解能力，对公式与定理的推理与演绎能力等。而数学公式和定理教学容易产生“一背二套”“公式加例题”的形式，这种形式的教学往往使学生头脑里只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉。我在平常的教学中经常运用“创设数学情境与提出数学问题”进行教学，使学生从过去被动地接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。

2.教材分析

“余弦定理”是人教A版必修5第一章的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，要求学生正确理解定理的结构特征，通过定理的应用，体会方程思想在解决问题中的应用，激发学生探究问题的欲望，培养应用数学知识的能力。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

3.设计思路

本课的教学采用探究式的教学方式，即教学过程中教师以问题为导向设计问题情境，学生通过自主探究和合作交流，解决问题、总结经验、归纳规律，从而发现并证明“余弦定理”。

二、教学过程

1.创设情境

已知三角形三边a、b、c，其中c为最大边。根据勾股定理，当∠C=90°时c2=a2+b2，在斜三角形中a2+b2与c2有什么关系？

学生通过探究发现，当∠C<90°时有c290°时有c2>a2+b2。

教师引导学生归纳出关系：c2=a2+b2-m。且m的符号与∠C的大小有关。

设计意图：通过类比引入，使学生对新公式、新定理不感到突然，而是旧公式、旧定理的延展。

2.提出问题

师：大家想一想，能不能得到三边a、b、c与∠C的具体关系，能否把这个具体问题抽象为数学问题？

能，△ABC中，已知a、b、∠C，求c边的长。

师：能用正弦定理求解吗？为什么？

师：这个问题的实质是什么？

在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

设计意图：学生体会到正弦定理的不足，从而激发兴趣，探索新知。

师：来看一个具体问题，在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，求c边是多少。

教师引导学生从多方面进行分析，选择简洁的处理方法，引发学生的积极讨论。

讨论一：构造直角三角形，过A作BC边的高AD，通过直角△ACD求出线段BD、CD的长度，进而求出AD的值，再借助△ABD求线段AB。

讨论二：建立平面直角坐标系，设点C（0，0），点A（5，0），通过三角函数可求点B（4，4■），借助两点距离公式可求AB。

讨论三：∵■=■+■∴（■）2=（■+■）2即c2=■2+2■·■+■2=■2-2■·■+■2=b2-2abcosC+a2=25-2×40×■+64=49 ∴c=7

注：运用向量解决这个问题学生不易想到，教师可适当引导。

设计意图：通过具体问题的解题探究，为一般性问题的探究做铺垫，使学生在探究新知时不会感到无从下手，培养学生从特殊演绎到一般的思考意识。

3.解决问题

师：通过这一具体问题的求解，我们能否借助这三种方法解决任意三角形中“边角边”的问题。

方法一：要对C是锐角、直角、钝角进行分类讨论。

在课堂上只展示锐角三角形中的证明。其他两种三角形中的证明可留给学生课后完成。

方法二：建立直角坐标系，则C（0，0），B（acosC，asinC），A（b，0）.

即c2=（acosC-b）2+（asinC）2=a2cos2C+a2sin2C-2bacosC+b2=a2+b2-2abcosC

方法三∵（■）2=（■+■）2即c2=■2+2■·■+■2=■2-2■·■+■2=a2+b2-2abcosC

4.反思应用

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

教师板书余弦定理。

师：这几个式子有怎样的特点？可以解决哪幾类问题？

生：等式左边的边对应右边的角，每个公式有四个未知量，知三求一，可解决已知两边一角，三边的问题。

师：在△ABC中a=8，b=5，∠C=60°，求c边？（学生板书）

设计意图：将知识归纳比较，发现特征，加强识记，同时首尾呼应，利用余弦定理解决一开始提出的具体问题。

师：如何看待勾股定理和余弦定理之间的关系？

若中，△ABC中，∠C=90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

设计意图：由于学习的阶段性等原因，中学数学许多公式和定理是可以推广的，教会学生推广，让学生看清知识的内部联系，是把知识纳入学生认知结构的有效途径。

三、教学反思

数学具有系统性，新公式、新定理可以由旧公式、旧定理通过类比迁移而来。先通过类比引入使学生对新公式、新定理不感到突然，而是旧公式、旧定理的延展，从一个解三角形具体问题出发，提出问题，引发学生思考，激发学生的求知欲，调动学生积极性，再对旧知识应用中提炼出新知识，从而新旧知识融为一体，使学生建立完整的知识系统。公式的推导和定理的证明是教学的核心。如果在教学中不重视推导，学生对它们的来龙去脉就会很模糊。在推导过程教学中，我尽量发挥学生的主体作用，能让学生推导就让学生推导，并注意指出学生推导中的错误。通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，让学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”。知识、能力、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。余弦定理的证明是本节教学的重要一环，本节课的教学案例是在吸取传统教学模式的优点下，结合新课改的要求进行设计，引导为主，重在发展学生的数学阅读能力，培养其提出问题、解决问题的能力、分析推理能力。

注：本文系2017年湖南省教育科学工作者协会重点课题“提升中学数学阅读能力的教学策略的研究”（XJK17A041）的阶段性研究成果。

？誗编辑 李烨艳