张宝莲

山西省地质勘查局二一二地质队 山西长治 046000

1 GPS高程拟合的目的和意义

1.1 高程系统

（1）大地高高程系统。大地高高程系统是以参考椭球面为高程基准面的高程系统。地面某点的大地高程H是指由地面点沿通过该点的椭球面的距离。地面点的P的大地高为PP1。

GPS定位测量获得的是WGS-84椭球大地坐标系中的成果，即GPS测量求得的是点相对于WGS-84椭球的大地高H。

（2）正高高程系统。正高高程系统是以大地水准面为高程基准面的高程系统。地面上任意一点的正高高程Hg是该点沿铅垂线方向至大地水准面的距离，即

式中：gm为地面点沿铅垂线至大地水准面的重力加速度平均值。由于gm并不能精确测定，也不能由公式推导出来，所以不能直接求得正高高程。因为正高高程系统是以大地水准面为基准面的高程系统，因而它具有明确的物理意义。大地水准面至椭球面的距离P1P3为大地水准面差距N，即有关系N=H-Hg

（3）正常高高程系统。正高高程实际上无法精确求定，为了使用方便，建立了正常高高程系统。其定义为：

式中：rm为由地面点沿铅垂线至大地水准面之间的平均正常重力值，可表示为：

式中：r为椭球面上的正常重力，其计算公式为

式中：re为椭球赤道上的正常重力值；β1，β2为与椭球定义有关的系数；φ为地面点的天文纬度。我国目前采用的re，β1，β2值为：re=978.030，β1=0.005302，β2=0.000007。

1.2 GPS高程拟合的意义

由GPS相对定位得到的三维基线向量，通过GPS网平差，可以得到高精度的大地高。如果网中一点或多点具有精确的WGS-84大地高程，则在GPS网平差后，可求得GPS点的WGS-84大地高程。实际应用中，地面点的高程采用正常高系统，是通过水准测量的方法来确定的，这就需要确定大地高与正常高的关系。似大地水准面与参考椭球面间的高差即高程异常，有Hr=H84-，其中Hr为正常高。

高程拟合方法的基本思路是：在GPS网中联测一些水准点，利用这些点上的正常高和大地拟合高求出它们的高程异常值，再据这些点上的高程异常值与坐标的关系，用最小二乘方法拟合测区的似大地水准面，利用拟合的似大地水准面内插入其它GPS点的高程异常，从而求出各个未知点的正常高。

研究GPS高程的意义有两个方面，一是精确求定GPS点的正常高，一是求定高精度的似大地水准面。

2 GPS高程拟合方法

2.1 GPS高程测量原理

由高程系统的理论可知，测站点P的大地高H与正常高Hr之间的关系为：Hr=H-式中：为高程异常。若能求出P点的高程异常，就能确定P点的正常高Hr。

GPS高程获取的方法有多种：（1）绘等值线图法；（2）狭长带状区域线形拟合法；（3）曲面拟合法；（4）地球重力场模型拟合法；5)地球重力场结合GPS水准拟合法。

2.2 等值线图示法

根据已知点的高程异常值，绘出测区高程异常的等值线图。然后利用内插算法确定未知点的高程异常。具体做法是：设在某一区域内，有m个GPS点，用几何水准联测其中n个点的正常高，根据GPS观测获得的点的大地高，求出n个已知点的高程异常。然后，选定适合的比例尺，按n个已知点的平面坐标，展绘在图纸上，并标注相应的高程异常，再用适当的等高距，绘出测区的高程异常图。在图上内插出未联测几何水准的(m-n)个点(未联测几何水准的GPS点称为待定点)的高程异常，从而求出这些待定点的正常高。

绘等值线图示法对于高程异常变化的趋势比较直观，使用起来比较简单。但是高程异常值会受到内插误差和等值线绘制精度误差的影响。

2.3 狭长带状区域线形拟合法

当GPS点呈线状布设，在认定沿线似大地水准面为一条连续而光滑的曲线的前提下，可应用解析内插法，求待定点的正常高。其原理是：根据高程控制点的平面坐标及其高程异常值，通过构造一个插值函数来拟合测线方向上的似大地水准面曲线，然后据此内插其它点的高程异常。

实际工程应用中，例如公路中线放样，铁路线路勘测等，已知参考点一般不可能布设在公路中线上，反而往往离公路中线数公里外，这样的GPS数据点实质上并不呈线状，此时，如果采用线形拟合，其结果肯定是不可靠的。而且，这样的拟合仅根据测点坐标中的数据之一，如果布设的GPS测点是一条斜线，那么坐标中的X，Y两个数据都必须考虑，或者用其离中点的距离来表示，这三种数据拟合的结果还是有区别的、不稳定的。总的来说，线性拟合不能够详尽地考虑待定点的周围局部地貌实际情况，参考点的分布，所以拟合结果不可靠。

2.4 曲面拟合法

当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待定点的正常高。其原理是：根据测区中已知点的平面坐标x，y(或大地坐标B，L)和值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的，从而求出待求点的正常高。

在选择已知点时，最好选择那些高程异常变化比较显著的点，这些点能很好描述该区域内高程异常分布的特征，最好位于最高，最低以及坡度变化处。这种拟合法最大的问题来自于和核函数的选取，需要不断试验改进选取。通过多次试验比较，才能取得最理想的拟合效果。对于双曲面来说，一般说来，越大，内插的曲面越平滑。对于倒双曲面，要求δ必须大于零，否则可能无法求解。

2.5 地球重力场模型拟合法

地球重力场模型是根据卫星跟踪数据、地面重力数据、卫星测高数据等重力场信息，由地球挠动位的球谐函数级数展开式求高程异常ξ，结合GPS求出的大地高，再求出点的正常高的一种方法。

由物理大地测量学可知，地面点P的挠动位T与该点引力位V和正常引力位U之间的关系为：T=V-U而地面点P的高程异常为ξ：ξ=T/r式中，r为地面点P的正常重力值。正常重力值r和正常引力位U可以精确计算，因此只要给出地面点P的引力位V。就可求出地面点P的高程异常ξ。

引力位V可由球谐函数级数展开式计算：

式中，ρ，B，L为地面点的矢径、纬度、经度；Cnm,Snm为位系数；Pnm(sinB)为勒让德函数；n为阶；m为次。

当n越趋向无穷大，上式越趋于正确。目前，国际上n已求到360阶次。我国WDM-89模型，除利用国外资料外，用了我国5万多个重力点资料，用WDM-89模型，在沿海平原地区计算ξ可达到厘米级精度，山区为0.2米精度，其他地区为1.0-1.5米左右，这是重力点密度不足所致。

2.6 地球重力场结合GPS水准拟合法

从目前我国实际情况来看，GPS重力高程的精度低于GPS水准高程精度。故采用重力场模型和GPS水准相结合的方法是一条有效的途径。

该方法的基本思路是：在GPS水准点上，将由GPS大地高程和水准正常高求得的高程异常ξ与由重力场模型求得的高程异常ξm进行比较，求出该地面点的两种高程异常的差值：Δξ=ξ-ξm，然后再采用曲面拟合方法，由公共点的平面坐标和Δξ推求其他点的Δξ，由此计算GPS网中未联测水准点的正常高程：h=H-ξm-Δξ

3 结论

高程拟合是一件复杂的工作，对于我国地形变化实际情况，没有一种模型能普遍适用于各种地形，因此拟合GPS高程异常时应该根据地形变化以及控制点的数量、分布情况灵活的选择拟合模型。还可以综合几种方法进行拟合，通过综合分析比较，得到以下结论：

（1）狭长线形区域地形拟合模型中，正交函数拟合模型、最小二乘法三次曲线拟合效果比较好。多项式曲线拟合模型不适用于控制点较多的情况。拟合次数不宜过高，否则曲线振荡太厉害，不能较准确的反映高程异常起伏的状况。

（2）平坦地区的拟合过程中，平面拟合模型效果要优于平面相关拟合模型。这种拟合模型适用于测区面积较小，控制点的数目较少且地形变化较为平缓的地区。由于这种地形高程异常变化比较平缓，因此在选择控制点时控制点要选择在那些高程异常变化的极值点处和一些高程异常变化较明显的点位。否则平面拟合的精度将大打折扣，另外选择还要注意点位分布均匀，便于从整体上进行拟合插值计算。

（3）丘陵地区高程异常变化较为剧烈，因此二次曲面拟合效果不是很理想。但是最小二乘法曲面拟合模型和多面函数拟合模型拟合精度比较理想。如果已知数据点比较充分，可以适当增加控制点，这样最小二乘曲面拟合模型的精度会得以提高。

（4）较大区域地形或者过于狭长的地形，由于高程异常变化大，不宜用一种拟合模型。应该根据高程异常变化综合利用几种拟合模型分区域进行拟合。控制点的选择除了选择在一些地形特征点外，还要注意分布均匀，便于拟合。另外即使在某一特定区域，也要选择几种适当的方法进行拟合，以便对数据进行分析比对。

（5）在选用合适的拟合模型后，拟合的精度可以达到四等水准精度。可以用于一般工程的碎部高程控制。但是不宜作为高等级控制高程点。