张永兰

[摘要]归纳、类比作为一般的科学方法，是人们探索问题、寻求和发现解决问题途径的重要方法.培养学生的归纳与类比能力很有意义.

[关键词]数学教学；归纳；类比；能力

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05003201

归纳和类比是学习数学概念和定理，探索数学结论，寻求问题求解途径常用的重要方法.注重归纳、类比思想方法的教学，对培养学生创造能力极其重要.本文就初中数学教学中如何培养学生的归纳与类比能力介绍两种方法.

一、渗透类比思想，构建知识体系

类比是对两种或两种以上在某些关系上表现为相似的对象进行对比的一种科学的研究方法，是数学发现和创新的有效途径.波利亚曾说：“没有这些思路（普遍化、特殊化和类比通用的基本思路），特别是没有类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现.”确实是这样，在数学中有许多定理、公式及其证明都离不开类比，教师要不失时机地渗透类比思想，使学生逐步感知并运用类比的方法学习新知.如，初中几何中《相似三角形判定定理》的证明，其思路是：利用辅助线构造预备定理（平行于三角形一边的直线和其余两边相交，所得的三角形和原三角形相似）的图形和条件来求证结论.在定理1——“两角对应相等，两三角形相似”的证明中，一般同时介绍两种证明方法.其一是“作平行，证相等”；其二是“作相等，证平行”.又如，在学习“三角形的外接圆和内切圆”时，大多数学生会混淆外心和内心的概念及性质.针对这一问题，可采用类比思想，把三角形的外心和内心的概念及性质归纳为：外心是三角形三边中垂线的交点，它随三角形的形状不同，位置也不同，它在锐角三角形的内部，在直角三角形斜边的中点处，在钝角三角形的外部.它是三角形外接圆的圆心，具有“到三角形三个顶点的距离相等”的性质.内心是三角形内切圆的圆心，它是三角形三个内角平分线的交点，它一定在三角形的内部，不随三角形形状的改变而变化位置，它到三角形三边的距离相等.如果长期这样坚持类比方法的运用，就能使学生学会类比，运用类比.

类比也是学习知识、系统掌握知识和巩固知识的有效方法，在解题中具有启迪思维的重要作用.正如哲学家康德所说：“每當理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法可以指引我们前进.”当面临一个生疏的问题时，往往可以联想一个比较熟悉的问题作为类比对象，熟悉问题的解决途径和方法常可启发生疏问题的解决途径和方法.在《相似三角形》中，利用几何图形求证比例式（或等积式）时，一般方法为：由“平行”或“相似三角形”得出比例式.但以下题目中，已知条件无“平行”，无“相似三角形”，可以按照常规方法分析求证式中所有线段的位置关系，类比以上两种条件的图形特点，通过作辅助线构造条件.

已知：如右图，AD是三角形ABC

的角平分线.

求证：AB∶AC=BD∶DC.

分析之后，确定过点B作边AC的平行线，

交AD的延长线于点E，通过比例式和

等量代换的方法，结论得证.

以上解决问题的方法，充分体现了类比思想的优越性，也再次突出了类比能力培养的重要性.

二、知识合理分类，提供归纳素材

归纳在数学学习中的作用和意义首先在于整理由观察、实验得到的经验材料，是进一步比较、分析、抽象概括的基础.其次，归纳是数学发现与创新的一种方法，它从经验材料推断普遍特性.因此，它有发现新知识和探索真理的作用.

初中数学中的一些概念、公式及定理的学习，归纳法更适合学生的认知特点，也符合从特殊到一般的认识规律.其中，乘法公式的得出就是最好的例证.公式的意义不在于形式上的生搬硬套，而是应用中的简便性和灵活性.准确理解公式含义及应用条件是正确应用公式的前提.而让学生了解公式的推导过程，把握公式所反映的普遍规律.才能处理好记忆与应用之间的关系.就“平方差”公式来说，以一组算式为研究对象，计算结果，分析结果与算式中数字间的关系，从而发现规律、得出公式的具体过程见下表：

总之，归纳、类比在数学知识拓展过程中常借助于比较、联想来启发诱导，以寻求思维的变异和发散.在归纳知识时又可用来串联不同层次的类似内容，帮助理解和记忆.在解决问题时，无论是对于命题本身或解题方法，都是产生猜测、获得命题的推广或引申的原动力.因此，归纳和类比既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法.

（责任编辑黄桂坚）