韦江玲

[摘要]圆锥曲线与过焦点的直线结合是一种常见的高考出题方式.圆锥曲线定义的特殊性决定着这类问题解法的多样化，常见的解法有常规法、弦长公式法、数形结合法、参数方程法等.探究圆锥曲线和过焦点的直线相交问题的解法具体有实际意义.

[关键词]圆锥曲线；直线；焦点；相交

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002801

本文通过两个典型例题说明几种常见解法.

一、求过焦点弦长问题

【例1】一条倾斜角为π4的直线过椭圆x29+y25=1的右焦点F2，与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|.

解法一：（常规法）椭圆右焦点的坐标为F2（2，0），所以直线AB的方程为y=（x-2）.设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立方程组

y=x-2x29+y25=1

，消去y得14x2-36x-9=0.

解出x1=18+15214

，x2=18-15214

，代入得y1=152-1014

，y2=-152-1014.

从而A（18+15214，152-1014），B（18-15214，-152-1014）.

根据两点间距离公式|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2得|AB|=307.

解法二：（用弦长公式）根据解法一，由韦达定理可得x1+x2=187，

x1x2=-914，

由弦長公式得|AB|=1+k2

（x1+x2）2-4x1x2

得|AB|=307.

解法三：（用弦长公式）由解法二的x1+x2=187，x1x2=-914代入椭圆方程可得y1+y2=-107

，y1y2=-2914.

由弦长公式|AB|=

1+1k2

（y1+y2）2-4y1y2

得|AB|=307.

解法四：（用椭圆的焦半径公式）由椭圆的第二定义得出椭圆焦半径

|AF2|=a-ex1，|BF2|=a-ex2，

而|AB|=|AF2|+|BF2|=2a-e（x1+x2），由椭圆方程易知a=3，b=5，c=2，e=23.

∴|AB|=6-23×187=307

.

解法五：（参数方程法）直线AB的参数方程为

x=2+tcosπ4=2+22t

y=tsinπ4=22t

（t为参数）代入椭圆方程

x29+y25=1

中整理得7t2+102t-25=0

.

由韦达定理得t1+t2=-1027，

t1t2=-257.

所以|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2

=-10272-

4×-257

=307

.

二、求焦点弦所在直线方程问题

【例2】若过焦点的直线与抛物线x2=y交于A，B两点，且AB中点的横坐标为4，求此直线方程.

分析：由直线与抛物线相交，联立方程用韦达定理求出斜率.另，由于直线斜率与弦中点坐标有关，故也可以用点差法.

解法一：（联立方程用韦达定理）抛物线焦点坐标为F0，14，由题意可知所求直线斜率存在，故可设直线方程为：

y=kx+14

，设A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立方程

y=kx+14

x2=y

化简得x2-kx-14=0，

由韦达定理得x1+x2=k，

A，B中点的横坐标为

x1+x22=k2=4

，解得k=8，故所求直线方程为y=8x+14.

解法二：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x21=y1，x22=y2，

两式作差得（x1+x2）（x1-x2）=（y1-y2），即

y1-y2x1-x2=x1+x2

，

因为x1+x22=4，所以x1+x2=8，所以k=8，故所求直线方程为：y=8x+14.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用中点这个条件，灵活运用韦达定理.但最优方法还是点差法，因为点差法简单，结构特征明显.教师在平时解题中要多尝试，并引导学生寻找最优的方法，为学生顺利解决高考中有关解析几何压轴题奠定基础.

（责任编辑黄桂坚）