王 祥， 金栋平

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016)

大型空间结构在轨运行时，一旦进出地球阴影，结构会由于温度骤变而受到热冲击作用，引起结构的热变形、热致振动等现象。1956年，Boley[1]首次研究了梁结构的热致振动问题，提出了判断结构发生热致振动的参数。1969年，Yu[2]考虑端部带有集中质量的悬臂梁模型，揭示了热弯矩引起的热颤振现象。1990年，美国哈勃太空望远镜(Hubble Space Telescope，HST)在进出地球阴影时太阳翼产生抖动，引发学者们对热致振动的关注。1993年，Thornton等[3]采用简化的梁模型分析了HST太阳翼非耦合与耦合情形下的热-结构动力学响应。后来，丁勇等[4-5]发展了一种“Fourier温度单元”，并用于HST太阳翼等空间结构的热致振动分析。该单元通过增加节点自由度数，将薄壁杆件的二维温度场问题转化为一维温度场问题，使温度场和结构的分析得以在梁单元网格下进行。Li等[6]基于有限元模型和模态分析方法对空间结构热致振动的稳定性问题进行了分析。最近，Zhang等[7-8]基于带末端集中质量的悬臂梁模型，采用加权余量求近似解的方法，分析了悬臂梁结构的热颤振稳定性。Shen等[9]建立了空间自旋航天器的热-结构耦合模型，并采用基于绝对节点坐标的有限元方法分析了结构的动态响应。Guo等[10]采用有限元法分析了天线索网结构受极端热载荷下的热变形，但未考虑热-结构之间的耦合效应。

大型空间可展开结构通常是由大量的梁、板、索网、运动副等组成的周期性结构，基于有限元方法的动力学模型自由度高达104～105，无法解释参数对结构动力学本质的影响[11]。因而，通过周期性环形桁架结构的动力学等效模型来分析大型空间结构动力学行为成为一种有效途径。例如，Salehian等[12]建立了直线式平面桁架周期单元的空间直梁等效力学模型，继而分析了面内动态特性。刘福寿等[13-14]通过能量等效方法研究了环形桁架周期胞元结构的一维等效问题，获得了一维连续体空间圆环等效模型，并推广到索网结构的动力学等效建模，给出了结构的准确动力学特性。

本文基于大型空间环形桁架结构的动力学等效模型，通过考虑热弯矩沿圆周方向的梯度分布，建立了热-结构耦合动力学方程，分析了空间环形结构受到太阳辐射时的热致振动稳定性问题，以期对大型空间结构的热设计提供指导。

1 热-结构耦合建模

考虑大型空间环形桁架结构等效力学模型的热致振动问题，如图1所示。该等效圆环结构的横截面为质量密度为ρ的均质薄壁圆环，圆环中心半径为R，表征环面的坐标为θ；薄壁圆环截面的中心半径为r，环面周向坐标为φ，壁厚h。记太阳辐射为S0，S0与圆环横截面法向夹角为βn、与横截面夹角θn=π/2-βn、投影到横截面的夹角为βr。建立固支于A处的定坐标系A-XYZ。

瞬态温度分布基于如下假设：①仅考虑圆环结构与太空之间的辐射换热；②横截面为薄壁结构，忽略沿壁厚方向的温差；③横截面周向温差相对横截面平均温度很小，忽略其高阶小量。

图1 太阳辐射下的圆环结构示意图Fig.1 The equivalent mechanics model of a hoop structure subject to solar radiation

该空间圆环结构的温度场T(θ,φ,t)满足二维热传导问题，即

(1)

(2)

将式(2)代入式(1)，得

(3a)

(3b)

(3c)

式中：βn和βr与圆环结构相应位置及相应位置的弯曲挠度有关。

通过采用Fourier温度单元法对圆环热冲击动响应进行数值仿真，发现该动响应主要呈现面外振动，为此忽略引起面内振动的热弯矩。根据位移等效热载荷的原理，可将热弯矩MT(θ,t)表示成温度场T(θ,φ,t)的形式

(4)

图2 太阳辐射沿圆周的分量Fig.2 Solar radiation components along the circle

(5)

式中：SZ=S0cosθ0；SR=S0sinθ0(-sinθ)，θ0为太阳辐射S0与Z方向的夹角。

数值研究发现，空间圆环受热冲击引起的挠度很小。由于等效圆环结构细长，忽略剪切变形和绕Y′轴的转动惯量后，圆环只有面外振动。描述粘性阻尼的圆环面外振动方程为[15]

(6)

(7)

(8)

式中：μ为黏性阻尼系数；Q(θ,t)、Mt和Mb分别为横截面的剪力、扭矩和弯矩。

考虑热弯矩MT的影响，则弯矩Mt与扭矩Mb、Z方向弯曲挠度v(θ,t)、扭转角Ω(θ,t)之间的关系为

(9)

(10)

联立求解式(6)～式(10)，可得计入热效应的弯-扭耦合振动方程为

(11)

式中：G为剪切模量；J为横截面关于形心O的极惯性矩。横截面扭转角Ω关于Z向弯曲挠度v的表达式为

(12)

根据图1所示，A为圆环的固定端，B为圆环的最远自由端，故圆环的边界条件是

(13)

热传导式(3a)和式(5)、热弯矩式(4)、面外振动式(11)共同组成等效圆环的热-结构耦合方程组。

2 热-结构耦合模型近似解

(14a)

(14b)

热弯矩式(4)、面外振动式(11)保持不变。

假设Z向弯曲挠度的近似解为

v(θ,t)=V(t)N(θ)

(15)

式中：V(t)为Z方向位移分量，形函数N(θ)满足边界条件

N(-π)=0,N′(-π)=0

(16)

采用加权余量法时，N(θ)成为加权函数。对式(11)乘以加权函数，并在(-π,π)上积分，可得

(17)

将式(14c)、式(15)和式(16)代入式(17)，得

(18)

其中，

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

则将式(15)、式(24)和式(26)代入式(14b)之后，可得

(27)

(28)

3 稳定域分析

(29)

其中，

(30)

(31)

特征多项式为

s3+a2s2+a1s+a0=0

(32)

根据近似系统的稳定性判据，可以分析圆环结构的稳定域影响因素。由式(19)～式(22)可知，M与材料密度ρ、截面积A、圆环直径R有关；C与黏性阻尼μ、圆环直径R有关；K与弯曲刚度EI有关；An、Bn和Cn与材料的热参数有关。在工程中，若设计一空间圆环结构，可将结构几何参数和材料参数代入式(32)，判断结构的稳定边界，结构参数应远离稳定域边界，以避免出现过大的热致振动现象。

4 算例研究

4.1 方法验证

圆环结构半径为5 m，有限元模型划分为30段、每段5个梁单元，共计150个单元。材料参数选用HST太阳翼材料，结构几何参数与材料参数如表1所示。

采用文献[5]提出的“Fourier温度单元”与结构有限元结合的方法对圆环热冲击进行数值仿真。为揭示变形对于热致振动的影响，分别采用两种材料的弹性模量，E=1 GPa和E=10 GPa。线膨胀系数均取αT=10-5K-1。根据式(31)，选择圆环第1阶面外振型的可行形函数作计算比较，即N(θ)=(1+cosθ)2/5+4(1+cosθ)/5。从图3可见，该形函数与圆环的第1阶面外振动模态的振型吻合很好。

表1 结构和材料参数

图3 有限元模型1阶模态与形函数对比Fig.3 Comparison between the first mode of FEM and shape function

圆环结构θ=-90°、θ=-30°、θ=0°截面处的平均温度T0、周向温差T1c的热响应结果如图4(a)和图4(b)所示。

图4 圆环结构热响应Fig.4 Thermal response of circular ring structure

从图4可见，圆环结构上的热响应在θ上有一定的梯度，圆环不同位置的平均温度T0随时间的响应较慢，差异较小；周向温差T1c随时间的响应较快，并与结构振动耦合，其波动的大小与所处圆环结构的环向θ位置有关，符合式(28)的假设。

不同弹性模量对应的稳定域如图5所示。选取图5中的参考点a(0.000 1, -30°)、点b(0.000 5, -30°)和点c(0.001 5, -30°)，研究圆环受到热冲击时的动态响应，这里点a处于不稳定区域、点b处于E=1 GPa的稳定区域和E=10 GPa的不稳定区域、点c处于稳定区域。图6给出了对应于这些参考点的最远端B在Z轴向的响应。从图6(a)可见，对应于材料E=1 GPa和E=10 GPa的响应发散；从图6(b)可见，对应于材料E=1 GPa的响应收敛、对应于E=10 GPa的响应发散；从图6(c)可见，对应于材料E=1 GPa和

E=10 GPa的响应均收敛。上述结果与图5的稳定域分析结果相一致。

图5 不同弹性模量的稳定域Fig.5 Stable regions of circular ring model for different elasticity modulus

图6 Fig.6 Thermally induced vibrations for reference points

4.2 参数对稳定域的影响

通过改变圆环结构的截面半径r、材料线热膨胀系数αT，以及材料表面太阳辐射吸收率αs，可以获得稳定域边界的变化，如图7～图9所示。从图7～图9可见，截面半径、热膨胀系数及太阳辐射吸收率越小，结构热致振动的稳定域越大，尤其是截面半径的减小对于稳定域的扩大效果明显。

工程设计时，可选择较细的杆件、较小热膨胀系数材料，通过热涂层降低材料的辐射吸收率等途径来抑制热致振动出现颤振的问题。

图7 不同截面半径的稳定边界Fig.7 Stable boundary for different radius

图8 不同线热膨胀系数的稳定边界Fig.8 Stable boundary for different coefficients of thermal expansion

图9 不同太阳辐射吸收率的稳定边界Fig.9 Stable boundary for different absorption rates of solar radiation

5 结 论

大型空间结构在热冲击载荷作用下易出现较大的热致振动，基于动力学等效方法的圆环模型能够用来预测结构的热致动态响应。本文考虑圆环热-结构耦合并计入热弯矩沿圆环圆周上的梯度，采用加权余量法获得了热致振动近似解及稳定域。数值结果表明，减小截面尺寸和热膨胀系数、减低材料辐射吸收率，可以增大稳定域并抑制热致振动。

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